Problema con los anillos

Question

Dejemos que $(R,+,*)$ sea un anillo de manera que $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}$ $\forall\ x, y \in R$ . Demostrar que

A) $xy=-yx$ $\forall\ x, y \in R$

B) $x^{2}+x^{2}=0$ $\forall\ x, y \in R$ y $x+x=0\ \forall\ x, y \in R$

Ya he demostrado A) y $x^{2}+x^{2}=0$ $\forall\ x, y \in R$ y para la última parte de la B tenía eso:

$x^{2}+x^{2}=0 \Rightarrow\ (x+x)^{2}=0$ pero no sé si esto implica que $x+x=0$

Así que agradecería mucho su ayuda para la última parte de B

Answer 1

Desde $(x+y)^2=x^2+y^2+xy+yx$ , entonces por nuestra suposición $x^2+y^2=(x+y)^2\Rightarrow xy+yx=0$ Eso es exactamente lo que querías mostrar.Ten en cuenta que tomar $x=y$ implica inmediatamente la segunda parte. Me parece que el anillo $R$ debe tener identidad multiplicativa $1_R$ .suponiendo que deje $y=1_R$ entonces por la primera parte $1x=-x1$ así $x+x=0$