Cómo generalizar la transformada de Fourier

Question

La transformada de Fourier se aproxima a una señal, con un montón de seno y coseno olas. La inversa de la transformada de Fourier, a continuación, reconstruye la señal original a partir de esta información.

Estoy dicho que es posible descomponer una señal con algún otro conjunto de funciones, en lugar de la habitual de seno y coseno. Mi pregunta es, ¿cómo hacer esto?

Para empezar, estoy asumiendo que para el conjunto de las funciones a ser capaz de aproximarse a cada señal posible, usted necesita tener "suficiente" de estas funciones, y lo ideal sería que usted quiere que ellos sean "diferentes" de tal manera que cada una de las medidas de una relación de aspecto de la señal.

Para ser completamente claro, estoy interesada en el caso de digital de los datos muestreados. Pero el continuo caso, podría ser muy interesante...

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Editar:

No estoy seguro de por qué mi pregunta no se produce ningún respuestas. Tal vez es porque en realidad nadie sabe la respuesta, o tal vez es porque la respuesta es "demasiado obvio" a alguien que realmente posee formales de formación en matemáticas. No estoy seguro. Pero he querido saber la respuesta a esta pregunta durante años, así que vamos a intentarlo una vez más...

La transformada de Fourier discreta funciona mediante el cálculo de la correlación de la señal de entrada con varias ondas sinusoidales. La inversa de la transformación, a continuación, añade el especificado amplitudes de las ondas, la recuperación de la señal original. Que tanto parece claro.

Se ve como me podría inventar una familia de funciones para usar en lugar de la del seno y del coseno funciones, y hacer exactamente el mismo proceso... salvo que cuando hago esto, no funciona de ninguna manera, forma o forma. Si me transformar y, a continuación, inversa de la transformación, tengo un galimatías. Y no sé por qué... pero parece que la frase clave es "completo conjunto de funciones ortonormales", lo que eso significa.

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Actualización:

Yo había asumido que si tan sólo pudiera encontrar un sistema de funciones de base tal que ninguno de ellos están correlacionadas, y su número es igual al número de puntos en la entrada, la transformación iba a funcionar. Al parecer, no.

Considere el siguiente conjunto de funciones:

$$f_1 = [1,1,1,1]$$ $$f_2 = [0,1,0,-1]$$ $$f_3 = [1,0,-1,0]$$ $$f_4 = [1,-1,1,-1]$$

Claramente, hay 4 funciones. Como lo que yo puedo decir, ninguno de ellos están correlacionadas. Por ejemplo,

$$f_1 * f_4 = (1 * 1) + (1 * -1) + (1 * 1) + (1 * -1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0$$

Si tomamos decir, $x = [1,2,3,4]$ y del cálculo de las correlaciones, obtenemos

$$f_1 * x = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$$ $$f_2 * x = 0 + 2 + 0 - 4 = -2$$ $$f_3 * x = 1 + 0 - 3 + 0 = -2$$ $$f_4 * x = 1 - 2 + 3 - 4 = -2$$

Ahora, la informática, la $10 f_1 - 2 f_2 - 2 f_3 - 2 f_4$, obtenemos

$$10 + 0 - 2 - 2 = 6$$ $$10 - 2 + 0 + 2 = 10$$ $$10 + 0 + 2 - 2 = 10$$ $$10 + 2 + 0 + 2 = 14$$

Claramente $[6, 10, 10, 14]$ no es nada parecido a $[1,2,3,4]$, incluso con la ampliación. Así que... ¿qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Tu pregunta está en el centro, no sólo de procesamiento de la señal, pero ecuaciones diferenciales y ortogonales y funciones especiales, campos de estudio que tienen una larga historia y todavía están activos y en constante evolución, por lo que es una tarea de enormes proporciones para puntos en los que se podría iniciar sus estudios.

La Wiki leonbloy señaló, Generalizada de Fourier de la Serie, y también el Wiki de la Función de Green con la sección de autovalor expansiones introducir la jerga de los que usted debe estar completamente familiarizado con.

El algoritmo básico es encontrar dual conjuntos de vectores propios/funciones propias parametrizadas por un continuo (por ejemplo, $\omega$ por debajo) o discretas índice (por ejemplo, $n$ por debajo), que satisfacen la integridad y la ortogonalidad de las relaciones encapsulado en función delta de Dirac resoluciones como la de la transformada de Fourier

$$\delta(x-y)= \int_{-\infty}^{\infty}\exp(i2\pi \omega x)\exp(i2\pi \omega y)d\omega$$

dando

$$\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\delta(x-y)dy=f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}\exp(i2\pi \omega x)\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\exp(i2\pi \omega y) dy d\omega$$

$$=\int_{-\infty}^{\infty}\exp(i2\pi \omega x)\hat{f}(\omega) d\omega,$$

o que para los vectores propios de Sturm-Liouville operadores diferenciales sobre dominios finitos

$$\delta(x-y)=\sum_{n=0}^{\infty }\Psi_n(x)\Psi_n^*(y)$$

dando

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\Psi_n(x)\int_{-\infty}^{\infty}f(y)\Psi_n^*(y) dy,$$

o delta de Kronecker resoluciones como la de los asociados de Laguerre funciones

$$\frac{(n+\alpha)!}{n!}\delta_{mn}=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x}L_{n}^{\alpha}(x)L_{m}^{\alpha}(x)dx$$

dando

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{n!L_{n}^{\alpha}(x)}{(n+\alpha)!}\hat{f}_n$$

con

$$\hat{f}_n=\int_{0}^{\infty}x^{\alpha}e^{-x}L_{n}^{\alpha}(x)f(x)dx.$$

La transformada de Fourier y Sus Aplicaciones por R. Bracewell es un muy buen libro para entender los fundamentos de los PIES y de la DFT, así como G. Strang la Introducción a las Matemáticas Aplicadas.

Los métodos de la Matemática Aplicada, por F. Hildebrand y de los Principios y Técnicas de la Matemática Aplicada, por B. Friedman dar buenas introducciones a la teoría de Fredholm y funciones de Green.

Más avanzada de libros sobre análisis armónico, tales como J. Partington de la Interpolación, la Identificación y Muestreo podría ser el próximo salto si usted se siente cómodo con el análisis complejo (por ejemplo, las fracciones de transformaciones lineales) y otras transformadas integrales, tales como la transformada de Laplace.

Answer 2

Desde que vi su última respuesta a sí mismo y que no estoy totalmente de acuerdo, voy a añadir a mi pequeña de piedra para el edificio, con la esperanza de que podría traer algo de claridad. Se basa en gran medida en Mallat del libro (una Wavelet Tour de Procesamiento de la Señal, ver, por ejemplo, cap 5) pero creo que la mayoría de los que ya estaba presente en otros comentarios.

Deje $f\in \mathcal H$ con un espacio de Hilbert $\mathcal H$. Deje $\{\phi_n\}_{n\in \Gamma}$ una familia de vectores en $\mathcal H$ (nada en realidad, esto es donde yo de alguna manera no está de acuerdo con el punto 1. y 2.) a continuación, puede definir un operador basado en la familia de los vectores de la siguiente manera: $$ \forall n\in \Gamma, \quad Uf[n] = \langle f,\phi_n\rangle $$ Así que, básicamente, este operador tiene una sola cosa, se asocia a una función $f$ un conjunto de números, el $n$th número correspondiente al producto interior (correlación o como se ponga) de $f$$\phi_n$.

Ahora la gran cosa es bajo que condiciones generales se puede recuperar $f$ de su $Uf[n]$? Que no es nada pero una pregunta acerca de la invertibility de $U$. En un entorno práctico, un típico ejemplo de una secuencia es una familia de senos y cosenos hasta una cierta frecuencia. Ya están aquí, y más bien intuitivamente, se puede adivinar que es no posible exactamente recuperar un general $f$ de su $Uf[n]$, pero hay algunos $f$ para los que será posible etc..

Así que a partir de esto, se debe tener claro que la caracterización del operador $U$ dado a la familia de $\phi_n$ es esencial para ver si es o no vamos a ser capaces de recuperar la función (o señal) a partir de su descomposición en la secuencia de $\phi_n$.

Algunas cosas más de Mallat del libro: la secuencia es un marco de $\mathcal H$ si existen dos constantes positivas $A,B$ s.t para cualquier $f\in\mathcal H$ uno: $$ A\|f\|^2 \le \sum_{n\in\Gamma} |\langle f,\phi_n\rangle|^2 \le B\|f\|^2$$ y al $A=B$, el marco que se dice ser apretado.

Si usted tiene que, a continuación, $U$ se llama (muy original) un marco de operador y se puede demostrar que el iff $U$ es un marco de operador, es invertible en su imagen con delimitada inversa.

Algunos comentarios:

1. usted puede tener redundancia en la familia de $\phi_n$ (a veces interesante, a ver, por ejemplo, curvelets)
2. usted puede normalizar sus vectores tener $\|\phi_n\|=1$
3. si el $\phi_n$ son linealmente independientes y formar un marco, a continuación,$A\le 1\le B$.
4. el marco es una base ortonormales iff $A=B=1$. (por ejemplo, la transformada de Fourier base wrt L2)

Así que, básicamente, se puede descomponer una función/de la señal con respecto a cualquier tipo de familia, pero podría no ser capaz de recuperar (totalmente) a partir de su descomposición. Para dar un poco de perspicacia acerca de las posibles aplicaciones aquí hay dos (y hay muchos más):

• Compresión: expresar una señal en una familia con un número limitado de $\phi_n$ y eliminar los $Uf[n]$ que son "demasiado pequeños". La señal puede ser almacenado con alguna pérdida, pero con (esperemos), muy pocos "importante" coeficientes (de ahí la compresión). Para las imágenes, esto se puede hacer de manera muy eficiente en una wavelet base, por ejemplo, (por ejemplo, JPEG2000). Una buena base será la base en la que la descomposición de la $f$ tiene muy pocos "importante coeficientes" $Uf[n]$ y el resto puede ser ignorado. La transformada de Fourier de la base suele ser bastante malo en ese sentido (tiende a ensuciar los datos).
• Eliminación de ruido: dada una señal con ruido expresado en una familia, puede intentar recuperar un menor señal ruidosa invirtiendo el marco de operador en los coeficientes que son suficientemente grandes, y por lo tanto debe tener una alta relación señal-ruido.

Answer 3

Como han dicho las respuestas anteriores, sus funciones deben ser una base orthonormal para el procedimiento de trabajo. Su base es ortogonal pero no normalizados. Utilice la misma cosa

$ \frac{1}{\sqrt{4}} [1, 1, 1, 1,]$

$ \frac{1}{\sqrt{2}} [0, 1, 0, -1]$

$ \frac{1}{\sqrt{2}} [1, 0, -1, 0]$

$\frac{1}{\sqrt{4}} [1, -1, 1, -1]$

Usted tendrá mucho más suerte para encontrar información útil sobre esta buscando productos en lugar de correlación.

Answer 4

Se puede generalizar la transformada de Fourier mediante el uso de una familia completa de funciones ortogonales. Por ejemplo, si estaban interesados en una serie de expansión de funciones en la línea real $(-\infty,\infty)$ podría utilizar el polinomio de Hermite.

Los polinomios son definidos por, $$ H_n = (-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}. $$

Estos polinomios tienen dos propiedades importantes.

• Ortogonalidad, $$ \int_{-\infty}^{\infty} H_n(x) H_m(x) e^{-x^2}dx = \begin{cases} \sqrt{\pi}2^n n! \text{ if } n=m \\ 0 \text{ otherwise} \end{cases}$$

• La integridad,la $$ f(x) = \sum_{j=0}^\infty c_j H_j(x)e^{-x^2/2} \qquad \text{(most functions)}$$

Si queremos que los coeficientes en la expansión, entonces nos acaba de explotar la ortogonalidad de las funciones de base,

$$ c_n =\frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) H_n(x) e^{-x^2/2} dx $$

Existen otras familias de completar ortogonal de funciones que pueden hacer la misma cosa. Hay algunas limitaciones para estos tipos de series de representaciones que son compartidos por la serie de fourier. En el contexto de la serie anterior, usted está garantizado para ser capaz de representar cuadrado integrable funciones.

Para más información sobre polinomios ortogonales ver el pdf: "Abromowitz y Stegun Manual de Funciones Matemáticas" en el capítulo 22.

Answer 5

Uno de los aspectos de este tipo de descomposición (es decir, de Taylor, transformadas de Fourier) es que se trata de una aproximación que se hace mejor forma iterativa. Siempre he pensado en él como $n$a-$\infty$-dimensiones de transformación de coordenadas que se reduce a $n$ dimensiones con el plegamiento de la operación (que es, además, en el caso de Taylor/series de Fourier).

Puedes convertir un espacio vectorial $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ (como $a+b i\in\mathbb{C}$) en términos de otro espacio vectorial $(u,v)\in\mathbb{R}^2$, según el Cauchy-Riemann ecuaciones. Tal vez esto le ayudará a encontrar una manera de expresar las condiciones adecuadas para su trabajo (que para el CR se reduce a "todo debe ser perpendicular a todas partes).