¿Cómo afecta la gravedad a las balas?

Question

Hace poco leí que si se sostiene una bala en una mano y una pistola en la otra, ambas manos a la misma altura, y posteriormente se dispara la pistola al mismo tiempo que se deja caer la bala, ambas balas caerían al suelo al mismo tiempo (suponiendo que la bala disparada no encuentre obstáculos).

¿Es esto cierto y, si es así, puedes explicar el razonamiento que hay detrás con el menor número de ecuaciones posible? Supongo que se trata esencialmente de que la gravedad no se ve afectada por el impulso, pero me parece contraintuitivo.

Answer 1

Las balas no golpean el suelo al mismo tiempo exactamente porque es muy difícil disparar en horizontal, hay que tener en cuenta la resistencia del aire, el suelo puede estar inclinado, hay fuerzas de Coriolis, etc.

Normalmente, cuando la gente se refiere a este fenómeno, se refiere al principio de La relatividad galileana .

Puede leer el famoso extracto del libro de Galileo aquí . Consideró la posibilidad de navegar en un barco que navega suavemente y observó que, si estás en el casco, no notas el movimiento del barco en ningún experimento de física.

Concretamente, las cosas parecen caer con total normalidad cuando estás en una nave en movimiento. Alguien que esté en la orilla observando pensaría que los objetos del barco caen en trayectorias parabólicas con una velocidad de avance constante igual a la del barco, pero alguien que esté en el barco piensa que caen en línea recta.

Ahora imagina dos balas. La primera es lanzada por alguien en el barco. La segunda se dispara desde un arma en la orilla, pero se dispara exactamente a la misma velocidad que la del barco (es una bala lenta o un barco rápido, o ambas cosas). Las balas comienzan con exactamente la misma trayectoria. No tienen forma de saber si deben seguir el ritmo del barco o de la costa o qué, sólo conocen su ubicación y velocidad. Por tanto, las dos balas deben caer de la misma manera. Según la relatividad galileana, la bala del barco cae en el mismo tiempo que una bala que simplemente se deja caer, por lo que la bala disparada por la pistola también cae en el mismo tiempo que una bala que simplemente se deja caer.

Una forma de ver las matemáticas es como una consecuencia de las leyes del movimiento de Newton, que establecen

$$F = m \frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t}$$

Si transferimos los marcos de referencia de la costa (marco S) al barco (marco S'), estamos transformando las velocidades según

$$v' = v + v_s$$

con $v_s$ la velocidad constante del barco.

Entonces

$$F' = m \frac{\textrm{d}v'}{\textrm{d}t} = m \frac{\textrm{d}v}{\textrm{d}t} = F$$

por lo que la física parece funcionar de la misma manera en ambos marcos (esto supone que la masa es invariante).

Sin embargo, el principio de relatividad es más profundo que las leyes de Newton, y se mantiene en teorías de la física más fundamentales que la mecánica newtoniana, por lo que también tiene sentido tomar la relatividad más como un punto de partida que como una consecuencia.

Answer 2

Esto es cierto. La forma más fácil de pensar en ello es en planos. Tienes planos horizontales y verticales para la velocidad y la aceleración. Para ambas balas, inicialmente no hay velocidad vertical y la única fuerza neta que actúa sobre ellas es la gravedad. Por lo tanto, es de esperar que actúen de forma similar en el plano vertical, por lo que ambas golpean el suelo al mismo tiempo. No hay nada en el movimiento de avance de la bala disparada que contrarreste la atracción hacia abajo de la gravedad (como la elevación). Espero que esta explicación no sea demasiado vaga y te ayude a entender mejor lo que ocurre.

EDIT: Debería especificar que esto sólo es válido para situaciones ideales (estar en el vacío, sin resistencia del aire, etc.)

Answer 3

Mark fue el que más se acercó en su respuesta pero quiero abordar con más detalle algunas de las desviaciones del idealismo. La gente ha mencionado el ángulo en el que se encuentra el arma y la resistencia del aire, así que intentaré tocar ambos aspectos.

Tiene una altura $h$ digamos que la velocidad de la bala es $\vec{V_b} = < V_{bx}, V_{by}>$ (añadir $t$ dependencia cuando sea necesario). El tiempo que tarda en caer será $\sqrt{2h/g}$ en el vacío basado en la cinemática newtoniana ideal. La idea en el mundo sin fricción es que la velocidad horizontal de la bala permanece $V_p$ y la velocidad resultante en el tiempo será una combinación de ésta y de la velocidad vertical causada exclusivamente por la gravedad, $g t$ . Utilizaré $<x, y>$ notación vectorial, y sólo usaré una gran flecha vectorial para indicar lo que es la abreviatura de un vector. Para la otra bola que acaba de caer, la denotaré $\vec{V_f} = <V_{fx},V_{fy}>$ .

$$\vec{V_b}(t) = < V_p , -g t>$$ $$\vec{V_f}(t) = < 0, -g t>$$

A continuación, la resistencia del aire (arrastre) suele tomarse como una relación proporcional a la velocidad, en la dirección opuesta al vector velocidad. Tomaré esa relación como la forma común de una constante por la magnitud de la velocidad al cuadrado (linealmente $a_b = -C V^2$ ). Luego escribiré las ecuaciones diferenciales completas para el problema... en una notación abreviada de vectores bastante extrema. Tomemos $r$ para ser la posición.

$$\vec{a_b}(t) = -\frac{\vec{V_b}(t)}{|\vec{V_b}(t)|} C |\vec{V_b}(t)|^n = -\vec{V_b}(t) C |\vec{V_b}(t)|^{2} $$ $$ \vec{r_b}' = \vec{V_b}$$ $$ \vec{V_b}' = \vec{a_b}$$ $$ \vec{r_b}(0) = <0,h>$$ $$ \vec{V_b}(0) = <0,0>$$

Una suposición muy buena para este experimento si se realizara a una altura pequeña (que es cualquier altura a la que prácticamente se pudiera montar el experimento), la velocidad de la bala será mucho mayor que la velocidad final debida a la gravedad. La simplificación conveniente que surge es:

$$|\vec{V_b}(t)| = (V_{bx}^2 + V_{by}^2)^{\frac{1}{2}} \approx V_{by}(t)$$

Esto permite una solución de forma cerrada muy agradable.

$$\vec{V_b}(t) = \left< \frac{V_p }{ C t V_p + 1 } , -g \frac{ \left( \frac{C t V_p }{2} + t \right) }{C t V_p + 1} \right>$$

A partir de esto, puedo decir que la bala golpeará el suelo al mismo tiempo que algo caído al mismo tiempo que se dispara cuando se cumple una determinada condición, que es:

$$ C t V_p \ll 1$$

Hasta ahora he utilizado un coeficiente de arrastre no estándar. Así que voy a convertir la ecuación para utilizar el coeficiente de arrastre estándar y luego al coeficiente balístico.

$$ \frac{ C_d \rho A t V_p }{ 2 m} =\frac{ \rho t V_p }{ 2 BC} \ll 1 $$

Así que esta es la primera de mis respuestas. Para la otra, abordaré de forma muy sencilla la sensibilidad angular. La distancia horizontal recorrida por la bala es mucho mayor que la distancia vertical en la que cae, pero sigue formando un triángulo. Requerimos que el desplazamiento desde la horizontal al final del vuelo debido a la inclinación del arma debe ser mucho menor que la altura formalmente.

$$ V_p t \sin{\theta} \approx V_p t \theta \ll h$$

$$ \theta \ll \frac{h}{ V_p t} = \frac{1}{V_p} \sqrt{\frac{g h}{2}} $$

Digamos que el arma está a una altura $h=20 m$ . La velocidad de la bala sería bastante $V_p=500 m/s$ .

$$ \theta \ll 0.028 rad = 0.802^{\circ} $$

Tenga en cuenta que este valor es sólo un valor suficiente para arruinar completamente el experimento así que lo ideal sería que fuera 10 veces o más pequeño que esto. Para la otra parte, que trata del arrastre, tomaré algunos números muy generales. El coeficiente de resistencia para un cono genérico es de aproximadamente $C_d = 0.5$ así que usaré eso. Para una bala diremos $m=10 g$ . Aire, $\rho=1.2 kg/m^3$ . Área de balas que tomaremos como $A=0.2 m^2$ . Para 20 m de altura tenemos $t=2 s$ .

$$\frac{ C_d \rho A t V_p }{ 2 m} = 0.006$$

Así que parece que mi respuesta es que el arma debe mantenerse muy quieta, pero siempre que sea un arma "ordinaria" y mis números sean correctos, sí, la bala llegará al suelo prácticamente al mismo tiempo. Espero haber formalizado un poco exactamente cuando esto es cierto.

Answer 4

Se le dijo algo que no era del todo cierto, para ilustrar un principio que es muy cierto: En el movimiento newtoniano simple, las ecuaciones del movimiento en un eje de un sistema de coordenadas no tienen ningún efecto sobre el movimiento en cualquier eje ortogonal.

Permítanme replantear el caso para que sea un poco más veraz. Digamos que la bala que cae a la tierra es un movimiento en la dirección "z". el movimiento en la dirección horizontal podría ser "x" o "y" o una combinación de ambos. alineemos a nuestro tirador para que dispare exactamente en la dirección "x". Además, definimos nuestro sistema de coordenadas de manera que la dirección "x" permanezca bloqueada en la dirección de disparo después de que la bala sea disparada (no gira ni se mueve con la Tierra). Ahora situemos a nuestro tirador en el polo norte (o sur), en un campo de tiro que es perfectamente plano durante al menos 2000 pies. Nuestro tirador lleva un traje espacial, y el campo de tiro cerrado es bombeado al vacío. Por último, se instala un mecanismo para dejar caer una bala en el momento exacto (t=0), y desde la misma altura exacta, que la bala del tirador sale del cañón del arma perfectamente nivelado.

Ambas balas llegarán al suelo del campo de tiro exactamente al mismo tiempo (o tan cerca que no se notará la diferencia).

La bala que cae tiene una componente z de velocidad... y nada más. Obedece a la ecuación z(t) = z(0) - (a/2)(t^2); donde z(0) = 6 pies, y 'a' = unos 32 pies/(s^2). Desde una altura de, digamos, 6 pies, golpeará el suelo en unos 0,25 segundos ("unos 0,25..." --> estoy tratando de mantener las matemáticas simples).

La bala disparada tiene una componente z y otra x de velocidad. La componente x será x(t) = (v)(t), donde v = velocidad de la boca del cañón = quizás 3000 pies/s. El movimiento en la dirección 'z' es exactamente el mismo que para la bala lanzada: z(t) = z(0) - (a/2)(t^2), y z(0) = 6 pies.

Ahora, aquí está la parte complicada: ¿cuándo la bala disparada toca el suelo? Es el movimiento en la dirección z. De las dos ecuaciones que rigen el movimiento de la bala, sólo una tiene que ver con el movimiento vertical, y su solución es exactamente la misma que para la bala lanzada: Llega al suelo en unos 0,25 segundos. En ese tiempo habrá recorrido 750 pies en la dirección x y seguirá teniendo una velocidad de avance de 3000 pies/s.

El hecho de que una bala disparada y una bala lanzada caigan a la misma velocidad (sin tener en cuenta los efectos secundarios) es un fenómeno importante, que debe tenerse en cuenta para los disparos a larga distancia. Si un rifle está "apuntado" para un blanco de 100 yardas, disparará notablemente más bajo (aproximadamente 4 pulgadas más bajo para un rifle de potencia media) en un blanco de 200 yardas.

Answer 5

El tiempo de las balas en el aire, habiendo sido disparadas horizontalmente, depende de su velocidad. En general, ésta varía entre unos 900 fps y cerca de 3000 fps para un rifle, por lo que, obviamente, el tiempo que tarda en llegar al suelo también varía.