Por ejemplo, para un sistema aislado, la energía $E$ se conserva. Pero entonces cualquier función de energía, (como $E^2,\sin E,\frac{ln|E|}{E^{42}}$ etc.) también se conserva. Por lo tanto, se pueden inventar infinitas cantidades conservadas simplemente utilizando la conservación de la energía.
¿Por qué entonces se suele oír hablar de "sistema que tiene $N$ constantes de movimiento"? ¿"Sistema que sólo tiene una constante de movimiento"?
Quizá merezca la pena distinguir independiente integrales de movimiento de funciones de integrales de movimiento? Véanse las ecuaciones (2) y (3) en mi Correo electrónico: . El número de constantes de movimiento independientes está limitado con el número de independiente datos iniciales (si el problema está bien planteado).
EDIT: otra forma de entenderlo es contar los grados de libertad independientes del sistema.
Supongamos (para simplificar esta cuestión) que el hamiltoniano H es independiente del tiempo. Entonces cualquier función f cuyo corchete de Poisson con H {f, H}=0 es una constante de movimiento. También el Teorema de Poisson es que si f,g son ambas constantes de movimiento entonces también lo es {f,g} generando aún más constantes de movimiento.
La aclaración es que las funciones f, g definen aquí cambios canónicos de variable, por lo que sólo nos interesan las que sustituyen al $p_i$ y $q_i$ con nuevas coordenadas $(P_i,Q_i)$ . Sólo habrá como máximo 2N de estos.
Lo ideal es provocar que el mayor número de $Q_i$ para salir del Hamiltoniano (transformado) $H=H(P_i,Q_i)$ ya que sólo hay N máximo disponible. Así que sí, muchas "constantes de movimiento" serán funciones unas de otras (parecido a tener no sólo x(q),y(p) disponibles como coordenadas, sino también x+y, $x^2$ etc.), pero uno quiere utilizar sólo los que conducen a un Hamiltoniano más simple.
Hay siete aditivo constantes del movimiento en mecánica clásica, éstas son la energía y las tres componentes del momento y del momento angular. En otras palabras, todas las constantes del movimiento, $C$ puede escribirse unívocamente como:
$\hspace{3cm} C=a_1E+a_2P_x+a_3P_y+a_4P_z+a_5L_x+a_5L_y+a_7L_z$
Una prueba de este hecho puede encontrarse en Landau, Vol 1.
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Tengo que irme, así que sólo un comentario rápido por ahora. Hay una noción implícita de independencia. Si puedes expresar una de las constantes como función de otras, entonces es dependiente. Por ejemplo, cuando se trabaja en una múltiple simpléctica, esto significa que los flujos (campos vectoriales que corresponden a las cantidades conservadas) abarcan un $N$ -en cada punto. Es decir, forman un $N$ -avión distribución .
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Aw, @Marek, ¿no podías haber hecho una respuesta rápida?
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@David: nah, porque no es una respuesta completa, así que no me parece bien. Por un lado sólo habla de mecánica clásica. Hay más cosas que añadir también sobre mecánica cuántica (y relación con observables mutuamente compatibles), etc. Intentaré dar una respuesta más completa más adelante.
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La noción de (in)dependencia ya ha sido explicada anteriormente por Marek. Así que de todas las funciones f(E), sólo deberías elegir una. Sólo añadiría que en los sistemas de muchos cuerpos se suele exigir que la carga conservada sea aditiva (por el bien del límite termodinámico). Esto selecciona la propia E o su múltiplo.
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@Marek: +1 por el comentario; por favor, ¡conviértelo pronto en una respuesta real!