Homología singular

Question

Estoy haciendo curso de topología algebraica y estoy tratando de calcular la homología singular para algunos espacios. Sin embargo estoy atrapado haciendo $\mathbb{R}P^{2}$.

Calcular la homología singular de $\mathbb{R}P^{2}$ (el plano proyectivo real).

Answer 1

Ver el real proyectiva del plano como la unión de un disco de $D^{2}$ y una cinta de Moebius $M$se intersectan en un anillo, de modo que el borde del disco y va todo el camino alrededor de los límites de la cinta de Moebius. Así, cuando consideramos a $D^{2} \cap M \simeq S^{1}$, el círculo "envuelve" el disco dos veces. Tenga en cuenta que $\mathbb{R}P^{2}$ está conectado de 2 dimensiones del colector de lo $H_{0}(\mathbb{R}P^{2}) = \mathbb{Z}$$H_{n}((\mathbb{R}P^{2}) = 0$$n \geq 3$.

Ahora$M \simeq S^{1}$$M \cap D^{2} \simeq S^{1}$, el Mayer Vietrois secuencia es

$$H_{2}(D) \oplus H_{2}(S^{1}) \longrightarrow H_{2}(\mathbb{R}P^{2})\longrightarrow H_{1}(S^{1}) \longrightarrow H_{1}(D) \oplus H_{1}(S^{1}) \longrightarrow H_{1}(\mathbb{R}P^{2}) \longrightarrow H_{0}(S^{1}) \longrightarrow H_{0}(D) \oplus H_{0}(S^{1}) \longrightarrow H_{0}(\mathbb{R}P^{2})\longrightarrow 0,$$ dando

$$0 \longrightarrow H_{2}(\mathbb{R}P^{2})\longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow H_{1}(\mathbb{R}P^{2}) \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z} \longrightarrow 0.$$

El mapa, incluyendo el anillo en la cinta de Moebius envuelve dos veces alrededor del círculo que es un retractarse de la cinta de Moebius, por lo que el primer mapa de $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ está dada por la multiplicación por $2$. Por tanto, el mapa es inyectiva y $H_{2}(\mathbb{R}P^{2}) = 0$. Ahora, el último de los 3 grupos en la secuencia en la forma de una breve secuencia exacta, por lo que el mapa de $H_{1}(\mathbb{R}P^{2}) \rightarrow \mathbb{Z}$ debe ser el cero mapa como $\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ es inyectiva. Por lo tanto tenemos una breve secuencia exacta

$$ 0 \longrightarrow \mathbb{Z} \stackrel{2}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \longrightarrow H_{1}(\mathbb{R}P^{2}) \longrightarrow 0,$$

por lo $H_{1}(\mathbb{R}P^{2}) = \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$.

Answer 2

A tal vez más estéticamente agradable manera es utilizar ese singular y simplicial homología coincide y luego encontrar una triangulación de $\mathbb{R}P^2$.

Una de ellas tiene este aspecto:

Answer 3

$\mathbb{R}P^2$ es un CW complejo con un 0-celda $v$, 1 celda de $a$, una 2-celda $e$, que está conectado a través de la palabra $a^2$. Celular homología viene desde el complejo de cadena $$0\rightarrow H_2(e,a)\rightarrow H_1(a,v){\rightarrow }H_0(v,\emptyset)\rightarrow 0$$ where $H_i$ are the $i$-th singular homology groups of consecutive pairs of skeletons for the CW structure. Each of these groups in this complex is just a direct sum of copies of $\mathbb{Z}$ with a generator for each $i$-cell. In this case, $$0\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}\rightarrow 0.$$ The boundary maps are computed via the degree of the attaching maps for each cell that generates a $\mathbb{Z}$. In this case the only intersting boundary map is $d_2:[e]\mapsto 2[a]$ where 2 is the degree of the attaching map of $e$ to $a$. All other boundary maps are $0$. So the cellular homology groups (which are the same a singular homology groups) are $H_n(\mathbb{R}P^2)=0$ for $n>1$, $H_1(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z}_2$, $H_0(\mathbb{R}P^2)=\mathbb{Z}.$

Celular homología trabaja de manera muy eficiente para calcular la homología de grupos de la mayoría de los familiares CW espacios. es decir, $\mathbb{C}P^n, \mathbb{R}P^n$, género $g$ superficies, etc. Hatcher tiene un montón de ejemplos en el medio de su Homología capítulo, y es muy legible.