¿Cuando un Homeomorfismo puede actualizarse en una isometría?

Question

Deje $X$ ser un topológico metrizable espacio. Deje $f:X \rightarrow X $ ser un homeomorphism. Cuando podemos encontrar algunas métricas $d$ lo que induce a la topología original en $X$, lo $f$ una isometría?

Resultados Parciales:

$\text{(1)}$ Si $f$ es de orden finito, la respuesta es sí. (Tomar cualquier métrica y la suma se traduce de la misma por $f$).

$\text{(2)}$ Nos encontramos con algunos obstáculos (basado en la sugerencia de PVAL, comunicada por Mike:)

Aproximadamente, una condición necesaria para $f$ ser un potencial de isometría, es que no va a ser contractiva o expansiva (para cualquier darse cuenta métrica) en los subespacios de $X$. La idea principal es que si $f$ está comportando muy mal w.r.t a darse cuenta de métrica, entonces se comportará mal por cualquier otra darse cuenta de métrica.

Una precisa formulación se encuentra a continuación. (ver también mi respuesta detallada).

Este reglamento nuestra por ejemplo,$f(x)=x^3,f(x)=2x,f(x)=\frac{1}{2}x $$X=\mathbb{R}$ .

Mientras que el anterior obstrucciones parece bastante útil en la eliminación de los candidatos, Todavía me gustaría encontrar más necesario\condiciones suficientes para que esta propiedad para contener.

(En particular, siento que a pesar de los obstáculos encontrados son ingeniosos, hay algo incómodo en su formulación, ya que la verificación de ellos nos obligaría a ir a través de todos los posibles indicadores para $X$).

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La proposición (declaración precisa de las obstrucciones que se encuentra):

Las siguientes dos condiciones implican $f$ no puede ser una isometría de cualquier darse cuenta de métricas para la topología de $X$.

$\text{(1)}$ Existe un darse cuenta de métrica $d$ $X$ tal que $f$ restringe a un contratante (o ampliar) un mapa (no trivial) compacto subespacio de $X$.

$\text{(2)}$ Existe un darse cuenta de métrica $d$ $X$ tal que $f$ restringe a un contratante (o ampliar) el mapa en un subespacio de diámetro finito de $X$ que contiene un punto fijo de $f$ .

Comentario: En Condition2 no asumimos la correspondiente subespacio es compacto.

Answer 1

Esta respuesta es esencialmente debido a PVAL, que me dio una similar, si no idéntica idea recientemente a un problema similar.

Deje $f: \Bbb R \to \Bbb R$$x \mapsto x/2$. Para cualquier métrica (que induce el estándar de la topología en $\Bbb R$), algunos recorrer $f^n$ le enviará $[0,1]$ a un intervalo de arbitrariamente pequeño diámetro; en particular, podemos hacer que el diámetro más pequeño que $\text{diam }[0,1]$. Si $f$ fueron una isometría, $f^n$ sería una isometría; pero cambia el diámetro de un conjunto, por lo que es claramente no.

Este mismo argumento debería trabajo dado cualquier $f: X \to X$ que restringe a un contratante mapa en un subespacio compacto.

Answer 2

Estoy escribiendo una solución basada en la propuesta de Mike Miller:

La proposición (pruebas de abajo):

Las siguientes dos condiciones implican $f$ no puede ser una isometría de cualquier darse cuenta de métricas para la topología de $X$.

$\text{(1)}$ Existe un darse cuenta de métrica $d$ $X$ tal que $f$ restringe a un contratante (o ampliar) un mapa (no trivial) compacto subespacio de $X$.

$\text{(2)}$ Existe un darse cuenta de métrica $d$ $X$ tal que $f$ restringe a un contratante (o ampliar) el mapa en un subespacio de diámetro finito de $X$ que contiene un punto fijo de $f$ .

Comentario: En Condition2 no asumimos la correspondiente subespacio es compacto.

Prueba:(Condition1) Primero nos cuenta que desde el inverso de un bijective isometría es también una isometría es suficiente para demostrar la contractura caso.

Deje $d$ ser una métrica en $X$, $K\subseteq X$ un subespacio compacto tal que $f:(K,d) \rightarrow (K,d)$ es contractiva con constante $c<1$. (Suponemos $K$ contiene más de un punto, por lo que su diámetro w.r.t cualquier métrica es positivo). Suponga $d'$ algunos (compatible) métrica en $X$, lo $f$ una isometría.

Dado que en cada espacio métrico compacto de conjuntos acotados, se deduce que el $L = \text{diam}(K,d) < \infty$.

Tenga en cuenta que $\text{diam}(f^n(K),d) \le c^n \cdot L \stackrel{\mathrm{n\rightarrow \infty}}{\longrightarrow} 0$. (Aquí se utilizan explícitamente el hecho de $f(K)\subseteq K$ por lo que podemos utilizar la retracción obligado una y otra vez. Si sólo tenemos asumido $f:K \rightarrow X$ es contractiva, a continuación, después de una iteración de $f$ nos coudn no estar seguro de f todavía está a la contratación de los puntos que se posó sobre).

Deje $0 < \epsilon < \text{diam}(K,d')$, por la compacidad de $K$, existe un $\delta > 0$ tal que $\forall x,y \in K, d(x,y)< \delta \Rightarrow d'(x,y)< \epsilon $. (Aquí hemos utilizado también el hecho de que $d,d'$ generan la misma topología).

Ahora para $n$ lo suficientemente grande, $\text{diam}(f^n(K),d) < \delta$, lo $\forall x,y \in K , d(f^n(x),f^n(y)) < \delta \Rightarrow d'(f^n(x),f^n(y)) < \epsilon \Rightarrow $

$ \text{diam}(f^n(K),d') \le \epsilon < \text{diam}(K,d')$.

Pero $f:(K,d') \rightarrow (K,d')$ es una isometría, y por lo $f^n$. Pero esto es una contradicción con el hecho de que una isometría debe preservar los diámetros de los conjuntos.

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Prueba:(condition2)

(Seguimos con las mismas notaciones de la prueba 1 arriba).

Deje $K \subseteq X, o \in K$ un punto fijo de $f$ tal que $f(K) \subseteq K$ $f:(K,d) \rightarrow (K,d)$ es contractiva con constante $c<1$. Asumimos $ \text{diam}(K,d) < \infty$

Desde una métrica es siempre continua w.r.t la topología que se induce, se sigue que la función de $h(x) = d'(x,o)$ es continua en a $K$ w.r.t la topología en $X$ inducida por $d'$. Desde $d$ también induce esta topología se sigue que $h:(K,d) \rightarrow \mathbb{R}$ es continua.

Deje $0 < \epsilon < \text{diam}(K,d')$, por la continuidad de $h$ $o$ existe $\delta > 0$ tal que $d(x,0)< \delta \Rightarrow |h(x)-h(0)|=d'(x,o)< \frac{1}{2} \epsilon $.

Ahora para $n$ lo suficientemente grande, $\text{diam}(f^n(K),d) < \delta$ (aquí se utiliza el supuesto de $ \text{diam}(K,d) < \infty$ y contracción), por lo $\forall x \in K , d(f^n(x),f^n(o))=d(f^n(x),o) < \delta \Rightarrow d'(f^n(x),o) < \frac{1}{2} \epsilon $

$ \Rightarrow \text{diam}(f^n(K),d') \le \epsilon < \text{diam}(K,d')$