Determinar el polinomio mínimo encima $\Bbb{Q}$

Question

Yo estaba trabajando en una tarea de Hungerford:

Encontrar el polinomio mínimo del elemento $\sqrt{1+\sqrt{5}}$$\Bbb{Q}$.

Naturalmente, la solución sería el polinomio con raíces

$$ \pm \sqrt{1 \pm \sqrt{5}} $$

Que se encuentra como

$$ x = \pm \sqrt{1 \pm \sqrt{5}} \rightarrow x^2 -1 = \pm \sqrt{5} \rightarrow (x^2-1)^2 = 5 \rightarrow $$

$$\text{Minimal Polynomial = } (x^2-1)^2-5$$

El problema es, yo francamente no sé cómo probar esto. Hipotéticamente lo que si, en la misma vena que

$$ \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$

Existe una sutil factorización para $\sqrt{1 + \sqrt{5}}$ además con la propiedad de que es la raíz de un cúbicos o cuadrática. ¿Cómo puedo definitivamente descartar cualquiera de estos casos?

Answer 1

Tal vez hay una manera mejor, pero usted podría considerar el intermedio de extensión:

$$\Bbb Q \subseteq \Bbb Q(1+\sqrt 5)\subseteq \Bbb Q(\sqrt{1+\sqrt 5})$$

$1+\sqrt 5$ tiene el grado $2$ $\Bbb Q$ porque no es racional y es una raíz de $x^2-2x-6 \in \Bbb Q[x]$.

Debido a la multiplicación de la propiedad, $[\Bbb Q(\sqrt{1+\sqrt 5}): \Bbb Q]$ debe ser divisible por $2$, y está a menos de $4$ ya mostraron $\sqrt{1+\sqrt 5}$ es una raíz de un grado de cuatro polinomio. Por lo tanto, no puede ser $3$.

Ahora sólo tiene que demostrar que $\sqrt{1+\sqrt 5}$ no es un elemento de $\Bbb Q(1+\sqrt 5)$, y se puede mostrar esta contradicción.

Desde $\Bbb Q(1+\sqrt 5)$ tiene el grado $2$ $\Bbb Q$ ha $1, 1+\sqrt 5$ como base, así que usted puede intentar escribir

$$\sqrt{1+\sqrt 5} = a+b(1+\sqrt 5) \text{ for some } a,b \in \Bbb Q$$

y derivar una contradicción (que puede ser un poco tedioso).

Answer 2

Es suficiente para mostrar que $(x^2-1)^2-5$, es decir, $x^4-2x^2-4$ es irreducible sobre los racionales. No hay no tiene ninguna raíz racional, por lo que sólo debemos descartar factorización como producto de cuadráticas con coeficientes enteros.

Puesto que no hay ningún término de $x^3$. podemos limitar atención a factorizaciones $(x^2+ax+b)(x^2-ax+c)$. Si $a=0$, obtenemos $b+c=-2$, $bc=-4$, imposible en números enteros. Si $a\ne 0$, entonces porque no hay $x$ término necesita $b=c$, pero entonces $bc$ no $-4$.