¿Cuándo se extiende a una representación de $H\subset G$ $V$ una representación de $G$ $V$?

Question

Deje $G$ ser un grupo finito, $H$ a un subgrupo, y $\varphi:H\rightarrow GL(V)$ un finito-dimensional representación de $H$ a través de una característica cero, algebraicamente cerrado de campo. Deje $\chi$ ser el personaje de esta representación.

Si $\chi$ toma valores diferentes en dos diferentes clases conjugacy en $H$ que se convierten en conjugar en $G$, entonces claramente $\varphi$ no se puede extender a una representación de la $G$$V$.

Es este el único obstáculo?

I. e. si $\chi$ es la restricción de una función de clase en $G$ $\varphi$ la restricción de una representación de $G$$V$?

Otra forma de hacer la pregunta es, con esta suposición acerca de la $\chi$, ¿existe una función de clase que extiende $\chi$, y es equivalente a un $\mathbb{N}$-combinación lineal de irreductible personajes de $G$?

O hay otras cosas que pueden ir mal? Y si los hay, son fáciles de probar, o hay algún toda la sutil cohomological teoría de obstrucciones, o qué?

Gracias de antemano!

Answer 1

Aquí es un ejemplo de que no se puede extender. Deje $H$ ser un subgrupo de orden $2$ que se encuentra en el colector de un subgrupo de $G$ (por ejemplo, un subgrupo de orden $2$$A_4$) y deje $\phi$ ser el trivial representación lineal de $H$ que se asigna el elemento de orden $2$$-I$. Entonces, desde $H \le [G,G]$, $H$ se encuentra en el núcleo de cualquier representación lineal de $G$, lo $\phi$ no se puede extender a una representación de la $G$.

En geenral usted no puede esperar que las representaciones para ampliar de esta manera.

Answer 2

El ejemplo que dio sobre $H$ tener dos clases de GACION que conjugadas en $G$ está mal. Actualmente todavía podemos encontrar un valor de $\chi\uparrow G$. (Esto se lee "inducida por $\chi$ $G$").

Digamos que $x_1^H$ y $x_2^H$ son dos clases de GACION en $H$ que se convierten en una clase de solo GACION $x^G$ $G$. Entonces la fórmula de $g\in x^G$ es

$$\chi(g)=|C_G(g)|\left(\frac{\chi(x_1)}{|C_H(x_1)|}+\frac{\chi(x_2)}{|C_H(x_2)|}\right)$$