Reorganizar la fórmula de la experiencia Pokemon para hacer que el nivel sea el sujeto

Question

Como el título sugiere, estoy tratando de reorganizar algunas de las fórmulas para calcular la experiencia basada en el nivel para que sea al revés (calcular el nivel basado en la experiencia).

Estoy teniendo problemas para reorganizar esta fórmula para n (n siendo nivelado):

$$EXP = \frac {n^3(100-n)}{50} $$

Lo que he hecho hasta ahora es:

1. multiplicado los 50 fuera

$${EXP} \times {50} = {n^3(100-n)} $$

2. expandido los paréntesis $${EXP} \times {50} = 100n^3 - n^4 $$

Pero no sé cómo continuar desde aquí para hacer n el tema para que pueda calcular el Nivel basado en Experiencia . ¿Lo hago? divide los 100 fuera, si es así, ¿afectaría eso a $n^4$ ?

Nota: Los enlaces a las fórmulas originales pueden ser se encuentra aquí .

Answer 1

Como respondió 6005, intentas encontrar $n$ tal que la ecuación $$f(n)=n^4-100 n^3 +50 a=0$$ y, según el enlace, esta fórmula se aplica para $0\leq n \leq 50$ (y $a<125000$ ). Como se ha dicho, las soluciones analíticas de los polinomios cuárticos no tienen mucha gracia y podría ser más fácil utilizar un método numérico como el de Newton. Partiendo de una conjetura $n_0$ el método lo actualizará en función de $$n_{k+1}=n_k-\frac{f(n_k)}{f'(n_k)}$$ es decir $$n_{k+1}=\frac{n_k^3 (3 n_k-200)-50 a}{4 (n_k-75) n_k^2}$$ Entonces, empieza en, digamos $n_0=25$ e iterar.

A título ilustrativo, tomemos $a=56789$ los iterados serán entonces $$n_1=38.3406$$ $$n_2=35.3914$$ $$n_3=35.2673$$ $$n_4=35.2671$$ que es la solución para seis cifras significativas. Todo eso se puede hacer fácilmente utilizando Excel.

Puede mejorar el punto de partida utilizando $n_0=a^{1/3}$ (esto quedará claro si se hace un diagrama logarítmico de $n^4-100n^3$ ) y el primer iterado del método Newton será $$n_1=\frac{\left(3 \sqrt[3]{a}-250\right) \sqrt[3]{a}}{4 \left(\sqrt[3]{a}-75\right)}$$ que parece ser muy bueno. Para el caso ilustrativo, esto dará $n_1=35.3986$ .

Una aproximación aún mejor podría obtenerse utilizando la aproximante de Pade más simple (no se preocupe: ¡ya aprenderá sobre ellas!). Dará $$n\approx \frac{650 a^{2/3}-3 a-30000 \sqrt[3]{a}}{-5 a^{2/3}+900 \sqrt[3]{a}-37500}$$ que, para el caso de prueba, dará $n\approx 35.2802$ .

Podrían hacerse fórmulas más precisas. Solo tienes que postear si quieres mejores aproximaciones.

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Teniendo en cuenta tus últimos comentarios, para una solución exacta utiliza Newton $$n_{k+1}=\frac{n_k^3 (3 n_k-200)-50 a}{4 (n_k-75) n_k^2}$$ y elija $$n_0=50\, \big(\frac a {125000}\big)^{0.4306}$$ obtenido minimizando $$\Phi(\alpha)=\int_0^{50}\Big(\frac{n^3(100-n) }{50}-125000 \big(\frac n {50}\big)^\alpha \Big)^2 \,dn$$ Esto coincide exactamente con ambos puntos finales y conduce a un error de menos de una unidad en todo el intervalo. Aplicado a $a=56789$ esto da $n_0=35.5985$ y el proceso iterativo converge a la solución exacta en un par de iteraciones.

Un modelo más empírico (pero mucho mejor) podría ser $$n \approx 43.2633 \,x^{0.345438}+6.63856\, x^{1.33377}$$ donde $x=\frac a {125000}$ (observe que los exponentes son casi $\frac 13$ y $\frac 43$ ). El error máximo es inferior a $0.1$ en toda la gama. Para el valor de prueba, el resultado sería $35.2603$ .

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Podemos obtener el exacto solución al problema. Definamos $N=\frac n {50}$ y $A=\frac a {125000}$ . Esto hace que la ecuación a resolver $N^3(N-2)+A=0$ que es un cuártico "bastante simple". Ahora, definamos $$Z=\sqrt[3]{\sqrt{3} \sqrt{27 A^2-16 A^3}+9 A}$$ $$T=\sqrt{\frac{2\ 2^{2/3} A}{\sqrt[3]{3} Z}+\frac{\sqrt[3]{2} Z}{3^{2/3}}+1}$$ Esto conduce a $$N=\frac{T+1}{2}-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2}{T}-\frac{2\ 2^{2/3} Y}{\sqrt[3]{3} Z}-\frac{\sqrt[3]{2} Z}{3^{2/3}}+2}$$

Answer 2

Usted está tratando de resolver $$ n^4 - 100n^3 + 50 \text{EXP} = 0 $$ para $n$ . Dado que la máxima potencia de $n$ es $4$ Esto se conoce como ecuación cuártica . Afortunadamente, al igual que existe la fórmula cuadrática para cuando la mayor potencia $2$ hay un fórmula cuártica para cuando la mayor potencia $4$ . (De hecho, hay es ninguna fórmula para resolver estas cosas cuando el poder supremo es $5$ o más)

Por desgracia, la fórmula cuártica es EXTREMADAMENTE larga, como puede verse en esta imagen . Pero es más sencillo cuando algunos de los coeficientes son cero, como en tu caso. Las instrucciones para resolver el cuártico se encuentran en en Wikipedia . Primero tendrá que calcular $p$ y $q$ entonces $\Delta_0$ y $\Delta_1$ entonces $S$ y $Q$ y, por último, puedes enchufarlos para obtener las raíces.

(Si tienes problemas, dímelo en un comentario y quizá pueda volver más tarde para hacer el cálculo yo mismo).