Sea $X_i$ variable aleatoria uniforme de i.i.d. en $[0,1]$.
Que $N=\inf(n \colon \prod_{k=1}^n X_k < 10^{-3})$.
¿Qué es $\mathbb{E}(N)$?
Estoy tratando de solucionar esto pero estoy totalmente confundido. ¿Cómo encontrar un valor esperado para un infimum?
Para cada $a$$(0,1]$, vamos a $N_a=\inf\{n\geqslant1\mid X_1X_2\cdots X_{n}\lt a\}$.
Suponga que $X_1=x$$x$$(0,1)$. Si $x\lt a$,$N_a=1$. Si $x\geqslant a$, $N_a=1+N'$ donde $N'=\inf\{n\geqslant1\mid X_2\cdots X_{n+1}\lt a/x\}$ es independiente de $X_1$ y se distribuye como $N_{a/x}$.
Por lo tanto, $m(a)=\mathbb E(N_a)$ resuelve la ecuación $$ m(a)=1+\int_a^1m\left(\frac{a}x\right)\mathrm dx\ \stackrel{(s=a/x)}{=}\ 1+a\int_a^1m(s)\frac{\mathrm ds}{s^2}. $$ La diferenciación de este, uno ve que $$ m'(a)=a^{-1}(m(a)-1)-m(a)^{-2}=-a^{-1}. $$ Desde $N_1=1$ casi seguramente, esto se obtiene para cada $a$$(0,1]$, $$ \mathbb E(N_a)=1-\log. $$ Edit: Otro enfoque es considerar $Y_n=-\log X_n$ y la nota que $N_a$ $1$ más el número de puntos en el intervalo de $(0,-\log a)$ para el proceso con incrementos de $(Y_n)_{n\geqslant1}$. Este es un proceso de Poisson homogéneo con la intensidad de la $1$, con lo que el número medio de puntos en un intervalo de $I$ es la medida de Lebesgue de $I$. Para $I=(0,-\log a)$, este es el resultado de arriba.
Sustituto $Y_i=-\ln (X_i)\ \forall i$. Usted encontrará los $Y$s son iid distribuido exponencialmente con parámetro 1. A continuación,$N=\inf_n \{\sum_{i=1}^n Y_i>3 \ln(10)\}$. Usted puede continuar observando la suma de iid exponenciales es una distribución de Erlang.
$$\begin{align}E(N)&=\sum_{n=1}^\infty P(N\ge n)\\ &=1+\sum_{n=1}^\infty P\left(\sum_{i=1}^{n} Y_i \le 3 \ln(10)\right) \\ &=1+\sum_{n=1}^\infty \frac{\gamma(n,3\ln(10))}{(n-1)!}\\ &=1+3\ln(10) \end{align}$$
Alternativamente, usted podría ver esto como una pregunta diferente:
El memoryless de propiedades de la distribución exponencial se asegura de esto es 1+3$\ln(10)$.
Esto puede ser resuelto mucho a lo largo de las líneas de otro problema que implica el primer paso del tiempo con la suma de los uniformes.
Observar que en el caso de $\{N=n\}$ puede ser de la siguiente manera: $$ \{N=n\} = \{ \prod_{k=1}^{n-1} X_k > \epsilon, \prod_{k=1}^{n} X_k < \epsilon \} $$ Así $$ \Pr\left(N=n\right) = \mathbb{P}\left( \prod_{k=1}^{n-1} X_k > \epsilon, \prod_{k=1}^{n} X_k < \epsilon \right) = \Pr\left( \sum_{k=1}^{n-1} \log X_k > \log \epsilon, \sum_{k=1}^{n} \log X_k < \log\epsilon \right) $$ Desde $-\log X$ es igual a la distribución a una distribución exponencial con cero significa, y que $Z_{n-1} = -\sum_{k=1}^{n-1} \log X_k$ es la igualdad en la distribución de Erlang distribución $\mathcal{E}(n-1,1)$, y denotando $\delta = -\log\epsilon$ tenemos $$ \Pr(N=n) = \Pr\left(Z_{n-1} < \delta, Z_{n-1} + Y > \delta\right) = \frac{\delta^{n-1}}{(n-1)!}\mathrm{e}^{-\delta} $$ Por lo tanto $$ \mathbb{E}(N) = \sum_{n=1}^\infty n \Pr(N=n) = 1 + \delta = 1-\log\epsilon $$
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
