Producto del tensor de anillos coordenados 2

Question

Para el término variedad, me refiero a la irreductible algebraicas conjunto.

Mi pregunta es, si $V$ $W$ 2 variedades sobre un campo $\Bbbk$, entonces el no $\Bbb{k}[V]\otimes \Bbb{k}[W]$ tiene una estructura especial?

Trato de demostrar que, es otro coordinar anillo de otra variedad, que depende de la $V$$W$. Luego de la irreductible de $V$ $W$ I reducido el problema a entender el producto tensor de $\mathfrak{R}/\mathfrak{p} \otimes \mathfrak{R}/\mathfrak{q}$, que se sabe que isomorfo a $\mathfrak{R}/\mathfrak{(p+q)}$ donde $\mathfrak{R}$ es un Noetherian anillo(o un finitly generado álgebra), y $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$ son los principales ideales de la $\mathfrak{R}$.

Entonces, ¿qué podemos imaginar el elemento de $\mathfrak{R}/\mathfrak{p} \otimes \mathfrak{R}/\mathfrak{q}$? Puedo entender el producto tensor para 2 cosas(a grandes rasgos): hacer bilineal mapa en lineal mapa, y jugando el papel de un funtor que actúan en secuencia exacta. Yo no podía imaginar concretamente el elemento del tensor de producto(por ejemplo, $u\otimes v$ donde $u,v$ son dos vectores).

Por lo tanto, yo no podía definir el producto tensor de 2 coordenadas de los anillos( puede haber algunas maneras diferentes, por favor conteste aquí si los tienes).

Las anteriores sentencias de describir mi situación. Por favor me ayudan a punto de salir la imagen intuitiva de producto tensor y me ayudan a resolver(demostrar/refutar) mi pregunta inicial sobre el producto tensor de 2 coordenadas de los anillos.

Gracias.

Answer 1

Si $k$ es algebraicamente cerrado de campo (de cualquier carácter), la visión clásica de la geometría algebraica es que hay una perfecta correspondencia ("un antiequivalence de categorías") entre afín variedades algebraicas sobre $k$ y la reducción de finitely generadas $k$-álgebras.

En esta correspondencia el afín irreductible subvariedad $V\subset \mathbb A^n_k$ dadas por las ecuaciones $f_1=f_2=...=f_r=0 \quad (f_i\in k[T_1,...,T_n])$ corresponde al dominio de $k[V]=[T_1,...,T_n]/\langle f_1,f_2,...,f_r \rangle$.
De igual modo, un irreductible subvariedad $W \subset \mathbb A^m_k$ le corresponden a un dominio $k[W]=[T_1,...,T_m]/\langle g_1,g_2,...,g_s \rangle$.

El producto $V\times W\subset \mathbb A^{n+m}_k$ de estas variedades, dadas por las ecuaciones $f_1=f_2=...=f_r= g_1=g_2=...=g_s =0 $, corresponde a la $k$-álgebra
$$k[V\times W]=k[V]\otimes_k k[W]=k[T_1,...,T_n,T_{n+1},...,T_{n+m}]/\langle f_1,f_2,...,f_r, g_1,g_2,...,g_s \rangle$$

Es todo esto puramente formal y trivial? No! Hay un real (aunque no es muy difícil) teorema de álgebra detrás de esto: el producto tensor de dos finitely generado dominios es un dominio, por lo que el $k[V]\otimes_k k[W]$ es también un dominio.
Esto es falso, si el campo base no es algebraicamente cerrado, un simple contraejemplo siendo el $\mathbb R$- álgebra $\mathbb C\otimes_\mathbb R \mathbb C\cong \mathbb C\times \mathbb C$, lo que evidentemente no es un dominio, ya que es un producto de los anillos.

Editar
En el OP de la solicitud, voy a tratar de hacer más explícita la razón por la $k$-álgebra correspondiente a$V\times W$$k[V] \otimes_k k[W]$.
Un punto de $(v,w)\in \mathbb A^{n+m}_k$ $V\times W$ fib $v\in V$$w\in W$, en otras palabras iff $f_1(v)=...=f_r(v)=0$$g_1(w)=...=g_s(w)=0$.
Esto significa que $V\times W$ está definido por la desaparición del conjunto de $r+s $ polinomios
$$f_1,...,f_r,g_1,...,g_s\in k[T_1,...,T_n,T_{n+1},...,T_{n+m}]$$
y así que
$$ k[V\times W]= (k[T_1,...,T_n,T_{n+1},...,T_{n+m}]/\langle f_1,f_2,...,f_r, g_1,g_2,...,g_s \rangle )_{red} $$

[Debe tenerse en cuenta que el polinomio $f_1(T_1,...,T_n)$, por ejemplo, ahora es considerado como un polinomio en $k[T_1,...,T_n,T_{n+1},...,T_{n+m}]$, a pesar de que en realidad no contienen las variables $T_{n+1},...,T_{n+m}$)]

Es entonces puramente algebraica hecho de que $k[T_1,...,T_n,T_{n+1},...,T_{n+m}]/\langle f_1,f_2,...,f_r, g_1,g_2,...,g_s \rangle$ es ya una reducción de álgebra (en realidad, incluso un dominio) y isomorfo a $k[V]\otimes_k k[W]$ , por lo que tenemos $k[V\times W]= k[V]\otimes_k k[W]$.

Answer 2

En general, el producto tensorial de dos espacios del vector sobre un campo es atravesado por los productos de la forma $v \otimes w$. En tu caso, esto equivale a productos $f \otimes g$, donde $f$ es una función en $V$ y $g$ es una función en $W$. Ahora $f \otimes g$ define una función en $V \times W$ por la regla $$(f \otimes g) (v,w)=f(v)g(w),$$ and so we get a map from $k [V] \otimes_k k [W] $ to $k [V \times W] $. Este mapa resulta para ser un isomorfismo: el producto del tensor de los anillos coordenados de variedades afines es el anillo de coordenadas de su producto.

Answer 3

Quería decir más sobre el enfoque propuesto en Steve respuesta. La primera cosa a notar es que esto está bien definido, que no es demasiado difícil. Es surjective, ya que todas las coordenadas de las funciones de $V \times W$ están en la imagen.

De inyectividad es menos evidente, pero recuerde que usted tiene un campo, sobre el que todos los módulos son gratuitos, en la mano. Si $\{f_i\}$ es un (gigantesco) la base de la $k[V]$$k$, e $\{g_j\}$ base para $k[W]$, $\{f_i \otimes g_j\}$ $k$- base para el producto tensor. Si usted tiene alguna expresión $\sum a_{ij}f_i\otimes g_j$, $a_{ij} \in k$, que se asigna a cero en $k[V \times W]$, entonces para cualquier fija $Q \in W$ el polinomio $\sum a_{ij}g_j(Q)f_i$ se desvanece en $V$. ¿Qué se puede concluir?