Demostrar una identidad polinómica

Question

Definir una secuencia de polinomios de la siguiente manera:

$P_m(t)=\frac {1} {m!}\cdot t\cdot (t-1)\cdot...\cdot (t-m+1)$.

(Donde $P_0(t)=1$).

Estoy tratando de probar la siguiente identidad:

$\frac d {dt} P_{m+1}(t) = \sum_{k=0}^{m} \frac {(-1)^{m-k}} {m-k+1} \cdot P_k(t)$

Inducción en $m$ no parece funcionar aquí.

He observado eso si $f(x)=x^t$ y $P_m(t)=\frac {f^{(m)}(1)} {m!}$, pero no me llevan en cualquier lugar.

¿Alguna idea cómo demostrar que?

Answer 1

Generación de funciones al rescate! Su observación y serie de Taylor nos muestra ese $$x ^ t = \sum_{m=0}^\infty P_m(t) (x-1) ^ m;$$ Esto converge uniformemente $\frac12\le x\le\frac32$ $t$ en cualquiera y decir limitado rango. Por lo tanto nos podemos diferenciar en $t$ término por término: $$\begin{align*} \sum_{m=0}^\infty \frac d{dt}P_m(t) (x-1)^m &= \frac d{dt} x^t \\ &= x^t \log x \\ &= \bigg( \sum_{m=0}^\infty P_m(t) (x-1)^m \bigg) \bigg( \sum_{m=1}^\infty \frac{(-1)^{m-1}}{m} (x-1)^m \bigg). \end{align*}$$ entonces sigue su identidad mediante la comparación de los coeficientes de $(x-1)^{m+1}$ en ambos lados.