Cómo evaluar $\int^\infty_{-\infty} \frac{dx}{4x^2+4x+5}$ ?

Question

Necesito ayuda en mis deberes de cálculo chicos, no encuentro la forma de integrar esto, he intentado usar fracciones parciales o sustituciones en u pero no ha funcionado.

$$\int^\infty_{-\infty} \frac{dx}{4x^2+4x+5}$$

¡Muchas gracias por la ayuda!

Answer 1

Intenta completar el cuadrado en el denominador, es decir $4x^2+4x+5=4(x+?)^2+??$

Answer 2

Pistas:

$$(1)\;\;\;\;\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{4x^2+4x+5}=\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{4\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+4}=\frac{1}{4}\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}$$

$$(2)\;\;\;\text{ For a derivable function}\;f(x)\;,\;\;\int\frac{f'(x)}{1+f(x)^2}dx=\arctan(f(x))+C\ldots$$

Answer 3

• Manipular el denominador para obtener $(2x+1)^2 + 4 = (2x+1)^2 + 2^2$ .

• Dejemos que $u = 2x+1 \implies du = 2 dx \implies dx = \frac 12 du$ ,

• $\displaystyle \frac 12 \int_{-\infty}^\infty \dfrac{du}{u^2 + (2)^2} $

• utilizar una sustitución trigonométrica adecuada que deberías reconocer: $$ \int\frac{du}{{u^2 + a^2}} = \frac{1}{a} \arctan \left(\frac{u}{a}\right)+C $$

Answer 4

Utiliza el teorema del residuo. $$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{4x^2+4x+5}=\int_C\frac{dz}{4z^2+4z+5}=2\pi i\text{Res}|_{z=-\frac{1}{2}+i}=2\pi i\frac{1}{2i}=\pi.$$