Cómo encontrar la integral: $ \int \frac{2x}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x\;?$

Question

Mi problema es cómo encontrar la integral de $$ \int \frac{2x}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x$ $

¿Puedo hacerlo? $$ \int \frac{\frac{1}{2}\cdot4x-1+1}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x$ $ $$ \frac{1}{2}\int \frac{4x-1+1}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x$ $ $$ \frac{1}{2}\int \frac{4x-1}{\sqrt {4x-1}}+\frac{1}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x$ $ $$ \frac{1}{2}\int \sqrt {4x-1}+\frac{1}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x$ $ e $$ 4x-1= u/'$ $ $$ 4dx= du$ $ $$ dx= \frac{1}{4}du$ $ que inserte en el integral $$ \frac{1}{2}\int \sqrt {u}+\frac{1}{\sqrt {u}}\cdot\frac{1}{4}\, \mathrm{d}u$ $ $$ \frac{1}{8}\int \sqrt {u}+\frac{1}{\sqrt {u}}\, \mathrm{d}u$ $

y me sale $$\frac{1}{12}\cdot u\cdot \sqrt{u}+ \frac{1}{4}\cdot \sqrt{u}+C$ $ $$\frac{1}{12}\cdot(4x-1)\cdot \sqrt{4x-1}+ \frac{1}{4}\cdot \sqrt{4x-1}+C$ $

y es la solución correcta. ¿Pero puedo escribir a $2x$ $\frac{1}{2}\cdot4x-1+1$ y luego poner $\frac{1}{2}$ antes de la integral? ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Tienes la idea correcta, pero hay dos lugares que usted cometió un error:

$$ \int \frac{\frac{1}{2}\cdot4x-1+1}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x = \int \frac {2x - 1 + 1}{\sqrt{4x - 1}}\,dx \neq \frac{1}{2}\int \frac{4x-1+1}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x$$

Usted necesita tener: $$\int \dfrac{2x}{\sqrt{4x-1}}\,dx = \int \frac{\frac{1}2(4x-1) +\frac 12}{\sqrt {4x-1}}\, \mathrm{d}x = \frac 12\int \frac{(4x - 1) + 1}{\sqrt{4x-1}}$$

Aquí también cometió un error: $$ \frac{1}{2}\int\sqrt {u}+\frac{1}{\sqrt {u}}\cdot\frac{1}{4}\, \mathrm{d}u = \int \left(\frac 12 \sqrt u + \frac 1{8\sqrt u}\right)\,du \neq \frac{1}{8}\int \sqrt {u}+\frac{1}{\sqrt {u}}\, \mathrm{d}u $$

Si tienes la respuesta correcta, es porque el segundo error invertido el primer error.

Si vas hacia atrás y corregir el primer error, y trabajar desde allí, con la misma idea (sólo tenga cuidado de que el ámbito de aplicación de un factor, y para distribuir el factor, cuando sea necesario!) usted debe obtener el resultado correcto, y hacerlo correctamente.

Answer 2

No se puede hacer de esa manera, pero te puede salvar la idea: $$ \int\frac{2x}{\sqrt{4x-1}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{4x}{\sqrt{4x-1}}dx =\frac{1}{2}\int\frac{4x-1+1}{\sqrt{4x-1}}dx $$ y seguir.

Posiblemente el más sencillo de la estrategia es hacer la sustitución $$ \sqrt{4x-1}=2t $$ donde puedo usar $2t$ porque después elevarlo al cuadrado obtenemos $$ 4x-1=4t^2 $$ así $$ x=t^2+\frac{1}{4},\quad dx=2t\,dt $$ y la integral se convierte en $$ \int\frac{2t^2+\frac{1}{2}}{t}2t\,dt=\int(4t^2+1)\,dt=\frac{4}{3}t^3+t+c $$ y el resultado se sigue por la sustitución de la espalda $x$.