Género de intersección de dos superficies en $\mathbb{P}^3$

Question

Que $F_1$ $F_2$ ser dos superficies (lisas) en $\mathbb{P}^3$, de grados $d_1$ y $d_2$ respectivamente. Que $C$ denotan dada como la intersección de la curva. ¿Cómo uno puede computar género aritmético de la curva $C$?

Tal vez tengo que añadir algunas asunciones en $F$ y $G$ excluir casos degenerados.

Answer 1

El cohomology de la intersección de dos superficies también puede ser calculada por escrito de las resoluciones. Primero de todo, tenemos el ideal de la gavilla secuencia $$ 0 \to \mathcal I \to \mathcal O_\mathbb P \to \mathcal O_C \to 0.$$

También tenemos la secuencia exacta $$ 0 \a \mathcal O(-d-e) \a \mathcal O(-d) \oplus \mathcal O(-e) \a \mathcal O \a \mathcal I \a 0. $$

A continuación, puede utilizar argumentos con el largo exacto de secuencias para el cálculo de la cohomology de $C$. Primero de todos, el cohomology del ideal de la gavilla está totalmente determinado por la segunda secuencia exacta junto con los resultados en la cohomology de espacio proyectivo. A continuación, combinar esto con la primera secuencia para determinar el cohomology de $\mathcal O_C$.

(esto es más molesto que Aasa Beag Dubh del método sin embargo...)