Caracterización de la relación de la Cruz

Question

$$ (z_1, z_2; z_3, z_4) = \frac{(z_1-z_3)(z_2-z_4)}{(z_2-z_3)(z_1-z_4)} $$

¿Cuáles son los teoremas más importantes o más interesantes de la siguiente forma?

Teorema: La relación de la Cruz es la función sólo que satisface condiciones especificadas de particular esta.

Answer 1

Deje $z_1, z_2, z_3, z_4 \in \Bbb P ^1 (\Bbb C) = \Bbb C \cup \{ \infty \}$, todos ellos distintos. La cruz de relación es esencialmente el único invariante proyectivo de este sistema de puntos. Más rigurosamente, vamos

$$X = \{ (z_1, z_2, z_3, z_4) \in \big( \Bbb P ^1 (\Bbb C) \big) ^4 \mid z_i \ne z_j \; \forall i \ne j \} ;$$

a continuación, $F : X \to \Bbb C$ es invariante bajo $z \mapsto \frac {az+b} {cz+d}$ $\forall a, b, c, d \in \Bbb C$ si y sólo si $\exists f :\Bbb C \to \Bbb C$ con

$$F(z_1, z_2, z_3, z_4) = f\left(\frac {(z_1 - z_3) (z_2 - z_4)} {(z_2 - z_3) (z_1 - z_4)}\right) \; \forall (z_1, z_2, z_3, z_4) \in X .$$

Veamos por qué.

En primer lugar, uno puede encontrar a $a,b,c,d$ tal que el resultado de la transformación proyectiva envía $z_2, z_3, z_4$$1, 0, \infty$, respectivamente. Es decir, la transformación de $R$ dada por

$$z \mapsto \frac {(z - z_3) (z_2 - z_4)} {(z - z_4) (z_2 - z_3)} .$$

Tenga en cuenta que

$$R(z_1) = \frac {(z_1 - z_3) (z_2 - z_4)} {(z_2 - z_3) (z_1 - z_4)} ,$$

precisamente la cruz de relación.

Ahora, si $F$ es invariante bajo todas las transformaciones proyectivas, en particular, que es invariante bajo $R$, por lo que

$$F(z_1, z_2, z_3, z_4) = F\left(\frac {(z_1 - z_3) (z_2 - z_4)} {(z_2 - z_3) (z_1 - z_4)}, 1, 0, \infty\right) .$$

Llame a $f(z) = F(z, 1, 0, \infty)$ y la implicación directa que se hace.

Lo contrario es realmente fácil: se trata de un sencillo cálculo para mostrar que la sección transversal es invariante bajo la transformación proyectiva, y por lo tanto, cualquier función también debe ser así.

Por lo tanto, la cruz de relación es esencialmente el único invariante proyectivo de los sistemas de $4$ puntos distintos, todas las demás funciones de la misma.

Answer 2

La relación de la Cruz es la única función racional de cuatro números complejos hasta la multiplicación por una constante tal que la relación cruzada de cuatro puntos distintos es real si y sólo si son de los puntos cocíclicos.