¿Cuál es mejor: 1 millón de dólares en un mes o un penny(USD) doblado (y agregó) cada día durante 30 días?

Question

Esta es una pregunta que me recuerda cuando estaba en 5to grado, que pusieron a prueba nuestras habilidades de razonamiento lógico. Y se trata de una simple elección, sabiendo que las monedas se duplica cada día es una función exponencial, pero estoy tratando de averiguar cómo crear una fórmula para esta solución, sin añadir todo a mano.

Sé que esto tiene que ser algún tipo de relación de recurrencia, pero no puedo averiguar cómo resolverlo. hasta ahora he escrito

$F(n) = 2F(n-1)$ que wolframalpha resuelve para mí como $c_1 2^{n-1}$ (no sé cuál es el $c_1$ es, así que yo supongo que es una constante).

y luego cuando me conecte

$\sum_{n = 1}^{30} 2^{n-1}$ escupe $\$1,073,741,823$

Lo cual es incorrecto porque cuando me suma todos los días recibo $10,737,418.23

Yo creo que el principal problema es la relación de recurrencia puedo configurar, pero su pasado tanto tiempo desde mi discretos en la clase de matemáticas, me he olvidado completamente cómo poner esto en marcha.

Answer 1

Wolfram alpha es derecha, penny 1$0.01\$ $ so $c_1=0.01$. As it is a geometric series you could caluclate $c_1 2 ^ {30}-1 $ directamente.

$c_1$ es el valor que obtienes en el primer día.

Answer 2

El primer día, recibir $\$0.01\cdot 2 ^ 0 $, on day two, $ \ $0.01\cdot 2$ y en general, en el día $n$, $\$0.01\cdot 2 ^ {n-1} $. Por lo tanto la cantidad total de dinero es $ \sum_{n=1}^{30} 0.01\cdot 2^{n-1}=0.01\cdot\sum_{n=0}^{29} 2 ^ {n} = 0.01\cdot(2^{30}-1) = \ $10.737, 418.23. $$ Si no has visto la identidad usada en la segunda igualdad, que vale la pena verificar. Claramente estamos mejores esperando el último centavo que los millones de dólares por adelantado.