¿Puede existir una función continua no decreciente para todo $x \in [0, \infty)$ con $\int_0^\infty f \, dx$ existente, pero el $\lim_{x \to \infty} f$ ¿No existe? Si existe, ¿qué aspecto tiene? Creo que si el límite no existe, ¿cómo puede existir la integral impropia?
Respuestas
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Oli
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El límite debe existir, y debe ser $0$ .
Si $f$ no está acotada por encima, la integral claramente no existe. Si $f(x)$ está acotado por encima, entonces como $f$ es no decreciente, $\lim_{x\to\infty} f(x)$ existe. Se puede demostrar que si ese límite es distinto de cero, entonces la integral no converge.
La suposición de continuidad no es necesaria. Pero sí utilizamos fuertemente la hipótesis de que la función es no decreciente.
Michael Hardy
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Ciertamente. Supongamos que $f$ tiene un pequeño pulso de altura $1$ centrado en cada número entero, y la anchura de cada pulso es la mitad de la anchura del anterior.
Edición posterior: Se me escapó la frase "no decreciente". Si una función es no decreciente, se acerca a un límite finito o se acerca a $\infty$ . En tal caso, el límite de la integral a medida que crece el límite superior de integración sería finito sólo si la función se aproxima a $0$ .
Todavía se edita más tarde: . . . . y si $f(x)\to 0$ como $x\to\infty$ y $f$ no es decreciente, entonces $f\le0$ en todas partes, por lo que la integral es no positiva.
