Probar que cada secuencia de Cauchy en $\mathbb{C}$ está acotada.
En $\mathbb{R}$, este es un boceto de la prueba que yo recuerde:
Vamos a {${a_k}$} ser de Cauchy en $\mathbb{R}$, desde $1\in\mathbb{R}$, $\exists N$ s.t. $\forall m,n>N$, $|a_n-A_N|<1\rightarrow$$|a_n|-|A_N|<|a_n-A_N|<1\iff|a_n|<1+|a_N|,\forall n>N-1$. Deje $M = \max{|a_1|,|a_2|,\ldots,|a_N-1|,1+|a_N|}$. Entonces, $M$, $-M$ obligado {$a_k$}.
Una secuencia está delimitado en $\mathbb{C}$ si $\exists R\in\mathbb{R}$ y un entero $N$ s.t. $|z_n|<R$ $\forall, n>N$. Aquí está mi intento en la prueba en la mano, a continuación:
Vamos a {${z_n}$} ser de Cauchy en $\mathbb{C}$. Quiero mostrar que existe un R s.t. la definición anterior es satisfecho. Es este R sólo el $M$ a partir de la prueba en $\mathbb{R}$?
