Límite

Question

Acabo de leer esta pregunta, acerca de un límite muy similar a la que estoy pidiendo. Yo estaba confundido porque yo estaba malinterpretando el producto de los puntos en los que se pregunta como signos más. El siempre, excelentes respuestas son fáciles de seguir, y en el hecho de que permiten darme cuenta de mi error. Ahora estoy curioso sobre el límite

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|\sin1|}1+\cdots+\frac{|\sin n|}{n}\ }\,.$$

Yo no intente nada, lo siento, sólo mi intuición es que el interior de la suma probablemente se bifurca, por lo que su $n$-ésima raíz tiene indeterminado comportamiento

Answer 1

Claramente la suma interior es limitada entre 1 (para $n\geq 2$) y $n$, así que el límite de la raíz de $n$ th es 1 por el teorema del apretón.

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La versión de esta pregunta sin signos absolutas podría ser más interesante.

Editar - como señala usuario 17762, sin signos absolutos converge a una constante.

Answer 2

Límite superior (desde $|\sin k| \leq 1$: $$ L \leq \lim_{n \to \infty} \bigg (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \bigg)^\frac{1}{n} \sim\lim_{n \to \infty} (\log n) ^ \frac {1} {n} = n \lim_{n \to \infty}e^{\frac{\log \log} {n}} = 1 límite inferior de $$: $$ L \geq \lim_{n \to \infty}\bigg(\frac{1}{n}\bigg) ^ \frac {1} {n} = \lim_ {n \to \infty} e ^ {-\frac {\log n} {n}} = 1 $$

Ahora utiliza el lema del apretón