Demostrando eso puntos límite de $E$ ser contable $\implies$ $E$ contable

Question

Que $E'$ denotan el conjunto de los puntos límite de $E$.

Probar: Si $E$ es un subconjunto de $\mathbb{R}^n$ y $E'$ contable, $E$ es contable.

Answer 1

Cualquier punto de $E$ que no es un punto límite de $E$ es un punto aislado de $E$. Si $x$ es un punto aislado de $E$, hay un punto con coordenadas racionales que está más cercano de $x$ que a cualquier otro punto de $E$. Esto implica que hay a lo más contable muchos puntos aislados de $E$. La Unión de dos sistemas contables es contable, por lo que...

Answer 2

Supongamos que $E$ es incontable, pero $E'$ es contable, decir $E'=\{x_n\mid n=1,2,\dots\}$. Nos "fino" $E$ por recursión: Hay algunos entero $l$ tal que $E_0=\{x\in E\mid |x|<l\}$ es incontable. Supongamos $E_n\subseteq E$ ha sido definida y es incontable. Deje $E_{n+1}=\{y\in E_n\mid |y-x_n|>1/m\}$ donde el entero $m=m_n$ es tal que $E_{n+1}$ es incontable. Tenga en cuenta que $E\supseteq E_0\supseteq E_1\supseteq\dots$

Ahora, para cada una de las $i\in\mathbb N$, pick $y_i\in E_i$. Por construcción, la secuencia de $y_i$ no convergen a $x_n$ cualquier $n$, debido a que todos los $y_i$ $i> n$ están a una distancia mayor que $1/m_n$$x_n$. Pero la secuencia es acotado, ya que todos los $y_i$$E_0$, por lo que tiene un convergentes larga, cuyo límite no es en $E'$, lo cual es una contradicción.