$ \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} - \sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} $
He intentado subirlo a la plaza, pero no consigo el resultado.
$ \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} - \sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}= k $
$ 2\sqrt{10+2\sqrt{5}} -2\sqrt{10+2\sqrt{5}} = k^2 $
$2(\sqrt{(10+2\sqrt{5})(10-2\sqrt{5}})=2\sqrt{80}=8\sqrt{5}=k^2$
¿Es una buena pista?
@EDIT una cosa más, cómo mostrar que $ \sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} $ es igual a $\sqrt{10}+\sqrt{2}$
Por lo tanto, tus pasos no son del todo válidos; si tienes una declaración de la forma $$ \sqrt{a} - \sqrt{b} = c $$
Entonces, si bien es cierto que $$ \left(\sqrt a - \sqrt b\right)^2 = c^2 $$
esto lamentablemente no se simplifica a $$ a - b = c^2 $$
más bien, se obtiene $$ a - 2\sqrt a\sqrt b + b = c^2 $$
(compruébelo con el "papel de aluminio").
Qué es Sin embargo, lo cierto es que
$$ (\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b) = a - b $$ (de nuevo, compruébelo con "foil"), y que $\sqrt a - \sqrt b$ es racional si y sólo si $\sqrt a + \sqrt b$ es (y así, como consecuencia de esta suposición, $a - b$ también sería racional).
Así que
$$\left(\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} - \sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)\left(\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}} + \sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}\right)\\ = 8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}} - (8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}})\\ = 4\sqrt{10+2\sqrt{5}}$$
Ahora podrías intentar cuadrar las cosas.
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