Soluciones analíticas a una EDP no lineal de segundo orden

Question

Estoy intentando resolver analíticamente la siguiente EDP de 2º orden, pero no lo he conseguido hasta ahora. He intentado separar las variables, pero no funciona. Estaría muy agradecido por cualquier sugerencia que pudiera guiarme en la dirección correcta para resolverla y por todas las sugerencias sobre dónde podría buscar más. La ecuación es la siguiente
$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=- \frac{b(x)}{2} (1-u(x,t))^2+\frac{b(x)}{c} \frac{ \partial^2 u(x,t)} {\partial x \partial t},$$ donde $u(x,t)$ es la función desconocida, $b(x)$ es una función conocida de $x$ sólo, y $c$ es una constante.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=- \frac{b(x)}{2} (1-u(x,t))^2+\frac{b(x)}{c} \frac{ \partial^2 u(x,t)} {\partial x \partial t},$$ Dejemos que $u(x,t)=v(x,t)-1$ $$\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}=- \frac{b(x)}{2} v(x,t)^2+\frac{b(x)}{c} \frac{ \partial^2 v(x,t)} {\partial x \partial t},$$ Cambio de variable : $X(x)=\int{b(x)}{dx}$

$b(x)dx=dX$

Dejemos que $V(X(x),t)=v(x,t)$ $$\frac{\partial V(X,t)}{\partial X}=- \frac{1}{2} V(X,t)^2+\frac{1}{c} \frac{ \partial^2 V(X,t)} {\partial X \partial t},$$ Cambio de variable : $T(t)=ct$

Dejemos que $W(X,T(t))=V(X,t)$ $$\frac{\partial W(X,T)}{\partial X}=- \frac{1}{2} W(X,T)^2+ \frac{ \partial^2 W(X,T)} {\partial X \partial T},$$ Ahora, no hay ningún parámetro (constante ni variable) en la EDP, lo que supone una gran simplificación.

Answer 2

$1$ es la solución de la ecuación diferencial parcial.