Ecuación de diophantine Quintica

Question

¿Cómo puedo encontrar soluciones de enteros primitivos no trivial, el % de la ecuación de Diophantine $$a^4+b^4+c^4=d^5$$ alguien me puede encontrar soluciones a esta ecuación?

¿O si es posible una ecuación paramétrica que genera soluciones?

Agradeceria cualquier ayuda

Ive también lo simplifica a la búsqueda de soluciones de enteros coprimos mayor y 1 a la ecuación, %#% $ #% no sé si eso ayuda a todos.

Answer 1

Escoge tres números, decir $1,2,3$. Calcular el $1^4+2^4+3^4=1+16+81=98$. Multiplicar por $98^4$ y listo! $$98^4+196^4+294^4=98^5$ $ Si usted insiste en soluciones relativamente privilegiadas, que tenga que trabajar un poco más...

Answer 2

Relativamente primer puede ser difícil:

=======================

d       a       b       c
0       0       0       0
1       0       0       1
2       0       2       2
3       3       3       3
16       0       0      32
17       0      17      34
18      18      18      36
32       0      64      64
33      22      44      77
33      33      66      66
48      96      96      96
66     110     110     176

=======================

Answer 3

$k = 1000; para (un = 1, k, para (b = a, k, para (c = b, k, si (ispower (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4, 5 y n),print([a,b,c,n]))) [3, 3, 3, 3] [14, 252, 266, 98] [18, 18, 36, 18] [22, 44, 77, 33] [33, 66, 66, 33] [83, 83, 249, 83] [96, 96, 96, 48] [98, 196, 294, 98] [110 110, 176, 66] [124, 174, 298, 98] [163, 489, 489, 163] [226, 226, 339, 113] [356 534 534, 178] [729 729 729, 243] $

Answer 4

¿una ecuación paramétrica que genera soluciones?

El número esperado de soluciones enteros sin factor común es finito, por lo que no.

Answer 5

Echa un vistazo a este resultado experimental con Pari gp de $a^{m}+b^{m}+c^{m} = d^{m+1}$ y m =3. $? k=1000;for(a=1,k,for(b=a,k,for(c=b,k,if(ispower(a^3+b^3+c^3,4,&n)&gcd(a,b)==1&gcd(a,c)==1&gcd(b,c)==1,print actor(n)]))))) [19, Mat([19, 1]), 89, Mat([89, 1]), 117, [3, 2; 13, 1], 39, [3, 1; 13, 1]] [75, [3, 1; 5, 2], 164, [2, 2; 41, 1], 293, Mat([293, 1]), 74, [2, 1; 37, 1]] [81, Mat([3, 4]), 167, Mat([167, 1]), 266, [2, 1; 7, 1; 19, 1], 70, [2, 1; 5, 1; 7, 1]] [107, Mat([107, 1]), 163, Mat([163, 1]), 171, [3, 2; 19, 1], 57, [3, 1; 19, 1]] [222, [2, 1; 3, 1; 37, 1], 263, Mat([263, 1]), 961, Mat([31, 2]), 174, [2, 1; 3, 1; 29, 1]] [225, [3, 2; 5, 2], 362, [2, 1; 181, 1], 407, [11, 1; 37, 1], 106, [2, 1; 53, 1]] [323, [17, 1; 19, 1], 333, [3, 2; 37, 1], 433, Mat([433, 1]), 111, [3, 1; 37, 1]] [397, Mat([397, 1]), 441, [3, 2; 7, 2], 683, Mat([683, 1]), 147, [3, 1; 7, 2]]$

Podemos ver que hay primitivo soluciones si m <4 porque hay probablemente algunos de los secretos de las identidades; yo soy yo skilless y no tienen suficiente conocimiento matemático para encontrarlos; pero parece ser $ e^{3}+ f^{3}+ 3^2g^{3} =3g^{4}$