Orden de un elemento en el grupo del factor divide el orden o elemento

Question

Que $N$ ser un subgrupo normal de un grupo finito $G$ y $a \in G$ es un elemento de orden $o(a)$. Demostrar que el orden $m$ $aN$ $G/N$ es un divisor de $o(a)$.

Aquí lo que hice:

$(aN)^{o(a)}=a^{o(a)}N=eN=N$ pero es el menos energía tal que $(aN)^m=N$. Entonces supuse que $m$ tendrá que dividir $o(a)$ que está aparentemente mal. Esto es lo que hice para probar la hipótesis. $(aN)^{o(a)}=(aN)^{mq+r} 0\le r<m\implies ((aN)^m)^{-q}(aN)^{o(a)}=(aN)^r \implies N=(aN)^r$ $r<m$ y $r=0$ por lo tanto, $mq=o(a)$. ¿Es esto correcto? Sé que existe otra prueba pero estoy tratando de hacerlo a mi manera.

Answer 1

Aquí un poco más declaración general de que en realidad podría aislar el hecho mejor.

Deje $\phi:G\rightarrow H$ ser un homomorphism. A continuación, el orden de $\phi(g)$ divide el orden de $g$.

En su caso, se le acaba de hablar acerca de la proyección de $\phi:G\rightarrow G/N$.

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Y si usted no lo sabe (o aprendido y olvidado) que $g^k=1$ implica que el orden de las $g$ divide $k$, sólo quería recordarte con esta frase.

Veo que algunos de los elementos de la prueba de este hecho en su prueba. Si ustedes ya son conscientes de este resultado, usted no tiene que repetir los pasos utilizando el algoritmo de la división en esta prueba. Usted acaba de referir al lector a ese resultado, en lugar de convencer.