Una forma desconocida (para mí) del Lema de Hensel

Question

En su muy bonito artículo

Peter Roquette, Historia de la teoría de la valoración. I. (Resumen en inglés) Teoría de la valoración y sus aplicaciones, Vol. I (Saskatoon, SK, 1999), 291--355, Fields Inst. Commun., 32, Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI, 2002

Roquette afirma el siguiente resultado, que atribuye a Kurschak:

Hensel-Kurschak Lemma: Deja $(K,|\ |)$ ser un completo campo normalizado no archimediano. Que $f(x) = x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \in K[x]$ ser un polinomio. Supongamos que (i) $f(x)$ es irreducible y (ii) $|a_0| \leq 1$ . Luego $|a_i| \leq 1$ para todos $0 < i < n$ .

Dice que este resultado se llama hoy en día el Lema de Hensel y que se aplica la prueba estándar de Hensel.

Este es un resultado interesante: Roquette explica cómo se puede utilizar para dar una prueba muy simple del hecho de que, con $K$ como arriba, si $L/K$ es una extensión del campo algebraico, existe una norma única sobre $L$ ampliando $| \ |$ en $K$ . Este es, de hecho, el argumento que di en un curso sobre los campos locales que estoy enseñando actualmente.

Fue mi pensamiento inicial que el Lema de Hensel-Kurschak seguiría fácilmente de una de las formas más estándar del Lema de Hensel. De hecho, en la clase de la semana pasada afirmé que seguiría de

El Lema de Hensel, versión 1: Deja $(K,| \ |)$ ser un completo campo normalizado no Arquimediano con anillo de valoración $R$ y dejar que $f(x) \in R[x]$ ser un polinomio. Si existe $ \alpha \in R$ de tal manera que $|f( \alpha )| < 1$ y $|f'( \alpha )| = 0$ entonces existe $ \beta \in R$ con $f( \beta ) = 0$ y $| \alpha - \beta | < 1$ .

Entonces en la clase de ayer volví e intenté probar esto... sin éxito. (No estaba en mi mejor momento ese día, y no quiero decir que no sea posible deducir Hensel-Kurschak de la HLv1; sólo que intenté lo más obvio -- reajustar $f$ para convertirlo en un polinomio primitivo y que después de 5-10 minutos, ni yo ni ninguno de los estudiantes vimos cómo proceder). Ahora me pregunto si tal vez debería tratar de deducirlo a partir de una versión diferente del Lema de Hensel (por ejemplo, una de las versiones que habla explícitamente sobre factorizaciones modulo el ideal máximo).

Esto me lleva a una segunda pregunta. Por supuesto, hay muchos resultados que se llaman Lemma de Hensel. Hoy en día tenemos la noción de un Campo normalizado Henseliano es decir, un campo normalizado no arquímico en el que la norma extendida en cualquier extensión dimensional finita es única. (Hay muchas otras condiciones equivalentes; ese es más bien el punto.) Por lo tanto, siempre que expongo un resultado -- restrinjamos la atención a los resultados sobre polinomios univariados, para fijar ideas -- como "Lema de Hensel", me siento honrado de preguntar si este resultado se mantiene en un campo normalizado no Arquimediano si y sólo si el campo es Henseliano, es decir, que es equivalente a todos los Lemas de Hensel estándar.

¿Es cierto que la conclusión del Lema Hensel-Kurschak se mantiene en un campo valorado no Arquímedes si el campo es Henseliano?

En términos más generales, ¿cuál es una buena y razonablemente amplia referencia para los diversos Lemmata de Hensel y su equivalencia en el sentido anterior?

Answer 1

Un resultado mucho más general es el "teorema de la función inversa no arquímica". No he mirado la referencia de Roquette, así que tal vez la esté mencionando. Pero es algo que no encontré en los libros de texto de la teoría de números estándar - probablemente se puede encontrar en los textos sobre $p$ -análisis adictivo- y lo aprendí de mi profesor de teoría de números el semestre pasado (Jean-Benoît Bost). Este teorema es poderoso - y lo encuentro fascinante y sorprendente - y todas las versiones del lema de Hensel que uno suele encontrar mientras aprende la teoría de números son consecuencias inmediatas.

Deje que $K$ ser un campo, $ \left | \cdot \right |$ un valor absoluto no arquímico en $K$ para el cual $K$ está completo, $ \mathcal {O}$ el anillo de valoración asociado, $ \mathcal {M}$ el ideal máximo, $ \pi $ un uniformador. Deje que $ \Phi_i \in \mathcal {O}[X_1,\, \cdots ,X_n]$ para $1 \leq i \leq n$ y considerar el mapa $ \Phi = ( \Phi_1 ,\, \cdots , \Phi_n ) : \mathcal {O}^n \to \mathcal {O}^n$ . Deje que $J$ ser el jacobino $ \det ( \partial \Phi_i / \partial X_j) \in \mathcal {O}[X_1,\, \cdots ,X_n]$ .

Teorema. Si $x_0 \in \mathcal {O}^n$ , $y_0 = \Phi (x_0)$ y $J(x_0) \neq 0$ entonces para cualquier $R \in (0, \left |J(x_0) \right |)$ , $ \Phi $ induce una bijección $$ \overline {B}(x_0,R) \to y_0 + (D \Phi )(x_0) \overline {B}(0,R)$$ (donde $D \Phi $ es el derivado que todos conocemos!) y además tenemos una bijección $$B^ \circ (x_0, \left |J(x_0) \right | \to y_0 + (D \Phi )(x_0) B^ \circ (0, \left |J(x_0) \right |).$$

(Utilizo las anotaciones estándar $ \overline {B}$ y $B^ \circ $ para las bolas cerradas y abiertas respectivamente.)

La prueba utiliza de forma esencial el teorema del punto fijo de Picard.

Corolario 1. Toma $n = 1$ , $ \Phi_1 = P$ , $x_0 = \alpha $ , $ \varepsilon \in (0,1)$ . Supongamos que $ \left |P( \alpha ) \right | \leq \varepsilon \left |P'( \alpha ) \right |^2$ . Entonces existe una única $ \beta \in \mathcal {O}$ de tal manera que $P( \beta ) = 0$ y $ \left | \beta - \alpha\right | \leq \varepsilon \left |P'( \alpha ) \right |$ . (Tomamos $R = \varepsilon \left |P'( \alpha ) \right |$ en la primera bijección.)

Por lo tanto, como caso especial, si $ \left |P( \alpha ) \right | < \left |P'( \alpha ) \right |^2$ encontramos $ \left | \beta - \alpha\right | < \left |P'( \alpha ) \right |$ .

Como un caso aún más especial, si $P'( \alpha ) \in \mathcal {O}^ \times $ y $ \left |P'( \alpha ) \right | <1$ existe $ \beta \in \mathcal {O}$ de tal manera que $P( \beta ) = 0$ y $ \left | \beta - \alpha\right | < 1$ . Restituyendo esto en términos del campo de residuos: un simple cero en el campo de residuos puede ser elevado a un cero real en $ \mathcal {O}$ . Esta es la versión realmente conocida del lema de Hensel, supongo.

[Definición: la norma Gauss de un polinomio con coeficientes en $K$ se define como el máximo de los valores absolutos de sus coeficientes. Es muy fácil comprobar que la norma de Gauss es multiplicativa].

Corolario 2. Toma $f,g,h \in \mathcal {O}[X]$ de tal manera que $ \deg g = n$ , $ \deg h = m$ y $ \deg f = \deg g + \deg h = n + m$ . Supongamos que existe $ \varepsilon \in (0,1)$ de tal manera que $ \left\ |f - gh \right\ | \leq \varepsilon\left | \text {Res}(g,h) \right |^2$ y $ \deg (f - gh) \leq m + n - 1$ . Entonces existen $G, H \in \mathcal {O}[X]$ de tal manera que $f = GH$ , $ \deg (G - g) \leq n - 1$ , $ \deg (H - h) \leq m - 1$ y también $ \left\ |G - g \right\ | \leq \varepsilon \left | \text {Res}(g,h) \right |$ y $ \left\ |H - h \right\ | \leq \varepsilon \left | \text {Res}(g,h) \right |$ . (Obviamente $ \text {Res}$ denota el resultado aquí, y $ \left\ | \cdot\right\ |$ la norma Gauss.)

Para probar esto: escriba $G = g + \xi $ y $H = h + \eta $ donde $ \xi $ y $ \eta $ son polinomios con coeficientes en $ \mathcal {O}$ y tener títulos $ \leq n - 1$ y $ \leq m - 1$ respectivamente. Luego $f = GH$ si y sólo si $f = (g + \xi )(h + \eta )$ . Se puede ver como un mapa de $ \mathcal {O}^n \times \mathcal {O}^m \to \mathcal {O}^{n + m}$ que se dan por medio de polinomios. Así que considera el mapa $ \Phi : ( \xi , \eta ) \mapsto (g + \xi )(h + \eta ) - f$ . También tenemos $ \text {Res}(g,h) = \det (( \xi , \eta ) \mapsto g \xi + h \eta ))$ . Es fácil ver que el teorema de arriba da el resultado.

Como corolario: si $f$ , $g$ y $h$ satisfacer $ \overline {f} = \overline {g} \overline {h}$ - donde $ \overline {f}$ es $f$ modulo reducido $ \mathcal {M}$ etcétera - y si $ \overline {g}$ y $ \overline {h}$ son coprimas (¡esta es una condición de la resultante!) entonces existen $G,H \in O[X]$ satisfaciendo las siguientes condiciones: $f = GH$ , $ \deg (G - g) \leq n - 1$ , $ \deg (H - h) \leq m - 1$ , $ \overline {G} = g$ y $ \overline {H} = h$ . Por lo tanto, "una factorización sobre el campo de residuos se eleva a una factorización sobre $ \mathcal {O}$ " (en las condiciones adecuadas).

Corolario 3. Por último, lleguemos a la motivación de la pregunta: el resultado más general es que si $P \in K[X]$ es irreducible, entonces $ \left\ |P \right\ |$ (Gauss) es el máximo de los valores absolutos del coeficiente principal y del coeficiente constante. (Como caso especial, encontramos el resultado que Pete L. Clark cita como el lema de Hensel-Kurschak.)

En efecto, que $P(X) = \sum_ {i = 0}^n a_i X^{n - i} \in K[X]$ . Supongamos que WLOG que $ \left\ |P \right\ | = 1$ . Deje que $ \mathbb {F}$ ser el campo de residuos y dejar $ \overline {P}$ ser la imagen de $P$ modulo $ \mathcal {M}$ . Set $r = \min \{n : \overline {a_{n - r}} \neq 0\}$ . Entonces tenemos en el campo de residuos la factorización $ \overline {P}(X) = X^r \left ( \overline {a_{n - r}} + \overline {a_{n - r - 1}}X + \cdots + \overline {a_0} X^{n - r} \right )$ y podemos levantar la factorización por el Corolario 2, contradiciendo la irreductibilidad.

Sé que esto es una digresión, pero encuentro muy interesante la discusión sobre las diversas formas del lema de Hensel, y pensé que esto podría añadir algo a la discusión.

Answer 2

Lo que dice al principio de su mensaje es correcto: el lema de Hensel-Kurschak puede deducirse de alguna versión refinada del lema de Hensel. En realidad, es lo que hace Neukirch en la Teoría Algebraica de los Números (ver capítulo II, corolario 4.7). Su prueba se basa en lo siguiente (ver 4.6)

El lema de Hensel: Deja $(K,|.|)$ ser un campo de valor completo con un anillo de valoración $R$ el ideal máximo $ \mathfrak {m}$ . Deje que $f(x) \in R[x]$ ser un polinomio primitivo (es decir $f \ne 0$ mod $ \mathfrak {m}$ ). Supongamos que $f= \bar {g} \bar {h}$ mod $ \mathfrak {m}$ con $ \bar {g}$ y $ \bar {h}$ relativamente primo. Entonces puedes levantar $ \bar {g}$ y $ \bar {h}$ a los polinomios $g$ y $h$ en $R[x]$ de tal manera que $ \textrm {deg}(g)= \textrm {deg}( \bar {g})$ y $f=gh$ .

Neukirch continúa demostrando que la valoración de $K$ se extiende únicamente a cualquier extensión algebraica (véase el corolario 4.7), como usted dice que hace Roquette.

En lo que respecta a su última pregunta, puede que quiera echar un vistazo al capítulo II, párrafo 6 (apropiadamente llamado Campos Henselianos) en el libro de Neukirch. Su definición de campo Henseliano es que debe satisfacer el lema de Hensel-Kurschak. En el teorema 6.6, muestra que esta propiedad es equivalente a la única extensión de la valoración a las extensiones algebraicas.

Answer 3

Una exposición de varias versiones del Lema de Hensel se puede encontrar en

• P. Ribenboim, Formas equivalentes del lema de Hensel , Expos. Matemáticas. 3 (1985), 3-24