Transformación de Laplace Csch(x) (1/Sinh(x))

Question

Necesito encontrar la transformada de Laplace de $Csch(x)=\frac{1}{\sinh(x)}$ . Wolfram Alpha y Mathematica diga $-H(\frac{s-1}{2})$ donde H(n) es el $n$ -Número de armónico. Espero que alguien tenga una buena pista para probar esto.

Gracias

Answer 1

La integral de la transformada de Laplace de esta función no converge: para un valor positivo $s$ , $$ \int_\delta^1\frac{2e^{-sx}}{e^x-e^{-x}}\,dx\geq e^{-s}\int_\delta^1\frac1{x}\,dx=e^{-s}\log\frac1\delta. $$ Así que como $\delta\to0$ vemos que la integral diverge.

Estoy asumiendo que Mathematica utiliza alguna relación con otra transformada, donde la otra transformada sí converge.