30 problema del quinto libro de Diofanto;

Question

Hay una respuesta completa a este problema? He encontrado Saunderson la respuesta, pero creo que le falta un par de respuestas. El problema dice:

$a^2+b^2=c^2 \\ a^2+c^2=e^2 \\ b^2+c^2=b^2$

Saunderson demuestra que la respuesta es

$a=y(4x^2-z^2)\\ b=x(4y^2-z^2)\\ c=4xyz$

donde $x,y,z$ es el triple de Pitágoras $x^2+y^2=z^2$. Pero este salta respuestas como $(85,132,720)$,$(132,351,720)$, etc.

La completa Saunderson la prueba está aquí: https://play.google.com/books/reader?id=1NI_AQAAMAAJ&printsec=frontcover&output=reader&hl=en&pg=GBS.PA429

Las soluciones también son conocidos como Euler Ladrillos.

También (ya que no creo que una respuesta completa que existe), ¿alguno de ustedes tiene sugerencias sobre cómo encontrar uno?

Answer 1

Los cuatro más pequeños de Euler ladrillos ,

$$44, 117, 240$$

$$85, \color{brown}{132}, \color{brown}{720}$$

$$88, 234, 480$$

$$\color{brown}{132}, 351, \color{brown}{720}$$

Observe que el segundo y el cuarto ladrillos compartir dos términos. Hay un número infinito de tales Euler ladrillo pares. Deje $u^2+v^2 = 5w^2$, entonces,

$$a,b = (u^2-w^2)(v^2-w^2),\; 4uvw^2$$

y

$$c = 2uw(v^2-w^2)\;\;\color{brown}{or}\;\; 2vw(u^2-w^2)$$

Este es un segundo parametrización en términos de formas cuadráticas. Bremner en "El Racional Cuboide y un cuarto grado de la Superficie", se mostró hay muchas, muchas identidades. Como Bremner puntos en la última página, "...habrá una racional parametrización de cada grado igual o superior a seis...".

Es dudoso, a continuación, existe un único polinomio de identidad que cubre todas las soluciones.