¿Cuál es la solución no trivial, en general de estos cocientes iguales?

Question

Proporcionar una solución no trivial de las siguientes:

$$\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}$$

$a=?, b=?, c=?$

La solución debe ser general.

Answer 1

SUGERENCIA:

$\displaystyle\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+(c+a)+(a+b)}$

Del mismo modo, $\displaystyle F=\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{a-b}{b+c-(c+a)}$

O $a=b$ o $\displaystyle F=-1$

Espero que estos deben ayudar a

Answer 2

Aquí es cómo proceder a partir de Nilan del sistema de ecuaciones. Escribir el sistema en forma matricial, $\mathbf{A}\mathbf{x}=0$ donde $\mathbf{x}=(a,b,c)$ $\mathbf{A}$ es la matriz de coeficientes en términos de $t$.

Este es un sistema homogéneo:

• si $\mathbf{A}$ es no singular ($\det \mathbf{A}\neq0$), tiene una única solución: la trivial ($a=b=c=0$);
• si $\mathbf{A}$ es singular ($\det \mathbf{A}=0$), tiene un número infinito de soluciones.

Por lo tanto, estamos interesados en el caso en que $\mathbf{A}$ es singular. Trabajo fuera el determinante de a $\mathbf{A}$, de los que resultan ser $2t^3+3t^2-1$. Encontrar las raíces de este polinomio, que va a ser$t=-1$$t=\frac{1}{2}$.

Resolver el sistema para cada uno de estos dos casos. Usted obtendrá:

1. $t=1$ $\rightarrow$ $a+b+c=0$.

2. $t=\frac{1}{2}$ $\rightarrow$ $a=b=c$.

Estas son las soluciones generales; cualquier valor de $a,b,c$ que no cumple una de las dos condiciones es no una solución.

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Más Generalidad

Resulta que este se generaliza para cualquier número de variables, es decir, escribir el problema como:

$$ \frac{x_i}{\sum x - x_i} = \frac{x_j}{\sum x - x_j} \quad \forall (i,j=1,2,\dots,n $$

A continuación, las únicas soluciones son:

1. $\sum x = 0$;
2. todos los $x$'s son iguales.

Para ver esto, usted puede generalizar los lineales algebraicas enfoque anterior (ver aquí), o más simplemente, mirar a la formulación del problema y darse cuenta de que todos los denominadores deben ser idénticos (que corresponde a la Condición 1) o $\sum x = 0$, de modo que el (magnitudes) de los denominadores cancelar con los numeradores para todos los $i$'s.

Answer 3

$$\dfrac{a}{b+c}=\dfrac{b}{c+a}=\dfrac{c}{a+b}=t$ $ Entonces $$-a+bt+ct=0$$ $$at-b+ct=0$$ $% $ $at+bt-c=0$intentar resolverlos. Esto sería una ayuda para usted.

Answer 4

Además de las buenas respuestas publicadas para esta pregunta (esta respuesta y este), creo que encontrar los autovalores y autovectores de tal sistema le ayudará a encontrar la solución.

$$\begin{array}{l}\frac{a}{{b + c}} = \frac{b}{{c + a}} = \frac{c}{{a + b}} = t\\\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - t}&{ - t}\\{ - t}&1&{ - t}\\{ - t}&{ - t}&1\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}a\\b\\c\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\0\end{array}} \right]\\\left[ C \right]\left\{ X \right\} = \left\{ 0 \right\}\\\det \left[ {C - \lambda I} \right] = 0\\\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - \lambda }&{ - t}&{ - t}\\{ - t}&{1 - \lambda }&{ - t}\\{ - t}&{ - t}&{1 - \lambda }\end{array}} \right] = 0\\\left( {1 - \lambda } \right)\left\{ {{{\left( {1 - \lambda } \right)}^2} - {{\left( { - t} \right)}^2}} \right\} = 0\\\lambda = 1,1 - t,1 + t\\\begin{array}{*{20}{c}}{\lambda = 1}\\{\lambda = 1 - t}\\{\lambda = 1 + t}\end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ + \left( {1 - \lambda } \right)a - \left( t \right)b - \left( t \right)c = 0}\\{ - \left( t \right)a + \left( {1 - \lambda } \right)b - \left( t \right)c = 0}\\{ - \left( t \right)a - \left( t \right)b + \left( {1 - \lambda } \right)c = 0}\end{array}} \right\rangle \left\{ {\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{a = b = c = 0}\\{a = b = c = 0}\\{a + b + c = 0}\end{array}} \right\rangle } \right.\a la izquierda. {\underline {\, {a + b + c = 0} \,}}\! \right| \end{array}$$

Como parece que la respuesta es compatible con las otras respuestas a esta pregunta.