Ecuación diferencial pregunta $y'=\frac{1}{\cos y-x}$

Question

Quiero encontrar la solución para la primera orden ecuación diferencial $$y'=\frac{1}{\cos y-x}$ $ no tienen idea que hacer, lo que he intentado es:

1. $$(\cos y-x)dy=dx$$
2. $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos y-x}$$

sugerencias serán recibidas, gracias.

Answer 1

Reescribir la ecuación como $$ (x-\cos y)y'+1=0 $$ y poner $M(x,y)=1$$N(x,y)=x-\cos y$, $$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 $$ Vemos que la ecuación no es exacta porque $$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=0\neq 1=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}.$$

Tenemos que encontrar un factor de integración $\mu(y)$ tal que $$ \mu(y)M(x,y)dx+\mu(y)N(x,y)dy=0 $$ es exacto, que es $$ \frac{\partial \mu(y)M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial \mu(y)N(x,y)}{\partial x}. $$ Nos encontramos con que $\mu$ debe satisfacer $\mu'(y)=y$, de modo que $\mu(y)=e^{y}$. Multiplicando $(x-\cos y)y'+1=0$ $\mu(y)$ uno tiene $$ e^{y}(x-\cos y)y'+e^{y}=0 $$ Deje $A(x,y)=e^{y}$$B(x,y)=e^{y}(x-\cos y)$; esta es una ecuación exacta, porque $$ \frac{\partial Una(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial B(x,y)}{\partial x}=e^{y}. $$ Deje $F(x,y)$ tal que $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=A(x,y)$$\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=B(x,y)$; por lo que la solución de la ecuación es dada por $$ F(x,y)=C $$ con $C$ una constante arbitraria. La integración de $\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}$ con respecto al $x$ uno tiene $$ F(x,y)=e^yx+\psi(y) $$ donde $\psi(y)$ es una función arbitraria de $y$. La diferenciación $F(x,y)$ con respecto al $y$, nos encontramos con $$ \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=e^yx+\psi'(y)=B(x,y)=e^{y}(x-\cos y) $$ así que $$ \psi'(y)=-e^{y}\cos y $$ y la solución $$ \psi(y)=-\frac{1}{2}e^{y}(\cos y+\pecado y) $$ Finalmente $$ F(x,y)=e^yx-\frac{1}{2}e^{y}(\cos y+\pecado y) $$ así que la solución es $F(x,y)=C$: $$ e^yx-\frac{1}{2}e^{y}(\cos y+\pecado y)=C $$ o $$ x=\frac{1}{2}(\cos y+\pecado y)+Ce^{-y}. $$

Answer 2

Sugerencia: Considerar el $\frac{dx}{dy}$.

Answer 3

Notas 1er orden no linear ecuación diferencial. Tome todos los términos a un lado y luego multiplique ambos lados por x-cos(y)... Esto no es una ecuación exacta. Así que tiene que encontrar el factor de integración.

respuesta será ((e^y) * x)-0.5*e^y*(cos(y)+sin(y)) = c

Answer 4

Sugerencia: sea %#% $ de #% esto le llevará a $$z=y+\ln|x|$ $ es fácil calcular $$\frac{de^z}{de^y}=\pm\cos(\ln e^y)$.

Answer 5

Si se utiliza la sugerencia de @Andre Nicolas su DE se convierte una ecuación linear. en $x$:$$\frac{dx}{dy}+x=\cos y$$ (the roles of $x $ and $y $ are interchanged) with the integrating factor $e ^ y $. So the solution to ths eqn. is $% $ $x=e^{-y}\int e^y \cos ydy+ce^{-y}$