¿Cómo es que

Question

Estoy un poco confundido con lo siguiente:

• $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=1$

• $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n\ln(2^n)}=1$

Que esencialmente da la identidad:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n\ln(2^n)}$$

Ahora obviamente, $\displaystyle\forall{n\in\mathbb{N}}:\frac{1}{2^n}\neq\frac{1}{2^n\ln(2^n)}$

De hecho, la desigualdad anterior se mantiene para todos los valores excepto $n=\log_2e$

Todavía, cuando la suma de cada una de estas secuencias infinitas, el resultado es $1$ en ambos casos.

Así que básicamente estoy en busca de un "nativo" (filosófico si se quiere) explicación de esto.

Gracias.

Answer 1

Vale. Por lo tanto, permite definir una función $f$ por la serie de encendido: %#% $ de #% encontrar la forma cerrada de esta función, primero tomamos su derivado: $$ f(x)=\sum _{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} $$$ f'(x) =\sum _{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{n} = \sum _{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac {1}{1-x}$ | x | < 1 $ where the last equality is by the sum of an infinite geometric series and holds iff $f$, obtenemos: $. Integrating to recover $$$f(x)= - \ln(1-x) + C $x = 0 $ and setting $C = 0$, así que tenemos: $, we see that $$$f(x)= - \ln(1-x)$ x=\frac{1}{2}$ Letting $f$, tenemos: $ and using both our power series and closed form of $ $ % finalmente, $$ \sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n n} = -\ln (1-\frac{1}{2})= \ln 2$$ Voila.

Answer 2

Resulta que:

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^nn} = \ln 2$$

Por lo tanto

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n\ln (2^n)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^nn\ln (2)} = \frac{1}{\ln 2}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^nn} = 1$$

Answer 3

$$A_n = \frac{1}{2^n}$$ $$B_n = \frac{1}{2^n\ln(2^n)}$$

Cree desde $A_n > B_n$ $\sum A_n > \sum B_n$ (suponiendo que todo converge) y esta verdad. Pero hay un problema: no es verdad $A_n > B_n$ $n=1$.

Correctamente podría razonar %#% $ #%

pero ¿cuánto más grande es? Muy bien la diferencia viene del término $$(\forall n > \color{red} 2: A_n > B_n) \Rightarrow \sum_{n=\color{red}2} A_n > \sum_{n=\color{red}2} B_n$:

$n=1$$