Importancia de la desigualdad del triángulo

Question

Después de trabajar a través de un par de problemas con respecto a la Integral de Cauchy Fórmula, todavía estoy un poco confundido sobre la importancia de la desigualdad de triángulo. Para qué los utilizamos y qué información hace que nos dicen?

Véase el ejemplo siguiente.

Determinar el $\int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx$

En primer lugar, vamos a crear el contorno de $$ \begin{cases} C_1: Rt & -1 \le t \le 1 \\ C_2:R e^{i\theta} & \ \ \, 0 \le \theta \le \pi \\ C=C_1+C_2 \end{cases} $$

$$ x^2 +1 =0 \Rightarrow x=\pm i \ \ \ ; \ \ \ \ \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx$$

$$ \Rightarrow \int_C \frac{z^2}{(z+1)^2}dz = \int_C \frac{z^2}{[(z+i)(z-i)]^2} = \int_C \frac{z^2}{(z+i)^2 (z-i)^2} $$

$z=-i$ está fuera del contorno y por lo tanto irrelevante, lo que la elección de $z=i$ para la integración.

$$ \Rightarrow z_0=i \ \ \text{and} \ \ f(z)=\frac{z^2}{(z+i)^2} $$ $$ f'(z)=\frac{d}{dz}\left[ \frac{z^2}{(z+i)^2} \right] = \frac{2z}{(z+i)^2}-\frac{2z^2}{(z+i)^3}$$

Por lo tanto, por la de Cauchy de la Integración de la Fórmula, $$ \int_C \frac{f(z)}{(z-i)^2}dz = 2\pi i f'(i) = 2\pi i \left[ \frac{2i}{(2i)^2}-\frac{2i^2}{(2i)^3} \right] = \pi \left[1 + \frac{2}{4i^2} \right] = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} $$

La siguiente parte es donde estoy un poco confundido. Sé que el trabajo, pero no estoy muy seguro de por qué estoy haciendo o lo que el resultado final nos está diciendo. Así que, por la desigualdad de triángulo,

$$ \left| z^2 +1 \right|^2 \le \left( \left|z^2 \right| +1 \right) ^2 = z^4 +2\left| z^2 \right| +1 \Rightarrow \left| \int_C \frac{z^2}{(z+1)^2}dz \right| \le \frac{R^2}{R^4 +2R +1} $$

$$ \Rightarrow \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx \le \lim_{R \rightarrow \infty} \int_C \frac{z^2}{(z+1)^2}dz \\ \le \lim_{R \rightarrow \infty} \frac{R^2}{R^4 +2R +1} = 0 $$

$$ \therefore \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)^2} dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{\pi}{2} \right] = \frac{\pi}{4} $$

Cualquier ayuda en el desciframiento de la parte en el trabajo he señalado, sería muy útil, muchas gracias por su tiempo.

Answer 1

Un arreglo en este argumento, motivado por la observación de Fightclub, es esto: sabemos que cada $R>1$: %#% $ #% por lo tanto: $$ \underbrace{\int_{C_1} \frac{z^2}{(z^2+1)^2}dz}_{\int_{-R}^R \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx} + \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2+1)^2}dz = \pi/2 $ Mus$: %#% $ #% por lo que basta para mostrar la segunda integral tiene un límite de 0. Obtenemos: $$\lim_{R\rightarrow\infty} \int_{-R}^R \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx + \lim_{R\rightarrow\infty} \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2+1)^2} dz = \pi/2 $ $ que sigue porque $$ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx + \lim_{R\rightarrow\infty} \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2+1)^2} dz = \pi/2$ es la mitad del perímetro de un círculo de radio $$ \left|\int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2+1)^2}dz\right| \leq (\pi R)\max_{z \in C_2} \left[\frac{|z|^2}{|z^2+1|^2}\right] $. Pero en $C_2$ lo $R$. También, por la desigualdad de triángulo inverso obtenemos: %#% $ #% así todos $C_2$ que conseguir (para todas las $|z|=R$): $$ |z^2+1| \geq |z^2| - 1 = R^2-1$ $z \in C_2$ $ y $

Answer 2

La razón de que usted está confundido es que usted debe estar utilizando el inverso del triángulo de la desigualdad de aquí. Lo que debemos tener es la siguiente: $$|z^2+1|^2 \ge ||z|^2-1|^2 = (|z|^2-1)^2$$
Donde la última igualdad es porque vamos a considerar el contorno semicircular dejando $R=|z| \to \infty$ (así que, sin duda más grande que $1$).

Luego obtenemos el resultado; $$\left\vert \int_{C_2} \frac{z^2}{(z^2+1)^2} dz \right\vert \le \int_{C_2} \left\vert\frac{z^2}{(z^2+1)^2}\right\vert dz \le \int_0^{\pi} \frac{R^2}{(R^4-2R^2+1)} Rd\theta = \pi\cdot R \cdot \frac{R^2}{(R^4-2R^2+1)} $$.
Esto tiende a cero, como se $R$ tiende a infinito. De modo que la integral alrededor de la semi círculo $C_2$ desaparece.

Lo que esto significa, es que al considerar nuestra integral alrededor de todo el contorno de la $C$ y dejando $R \to \infty $ el resultado que obtenemos ( que es constante a partir de Cauchy del teorema de los residuos) es simplemente la contribución de la integral sobre la recta real. Luego de señalar que el integrando es incluso podemos reducir a la mitad el resultado para obtener integral entre el $0$ $\infty$

Espero que esto ayude a aclarar lo que está pasando, y por qué lo hacemos!!