Medidas espectrales

Question

Que $E:\Sigma\to\mathcal{L}(\mathcal{H})$ sea una medida espectral en el Borel $\sigma$-álgebra $\Sigma$ $\mathbb{C}$. ¿Asumen también que $E$ es compacto apoyado en el sentido que $E(K)=\operatorname{id}_\mathcal{H}$ % compacto $K\subset\mathbb{C}$, así que $$A:=\int\lambda dE$$ is a well-defined, bounded normal operator on $\mathcal{H}$. Do you know a nice proof for the fact, that $E (A \operatorname espec. {}) = \operatorname {id} _\mathcal {H} $, (por supuesto) no utilizar el teorema espectral?

Answer 1

Consejo. Basta para mostrar que si $\lambda$ es en el resolutivo de $A$, entonces para algunos $\varepsilon>0$, E\big $$ (\big D (\lambda,\varepsilon)) = 0, $$ $D(\lambda,\varepsilon)$ Dónde está un disco centrado en $\lambda$ % radio $\varepsilon$.

Answer 2

Estoy asumiendo que $E$ tiene todas las propiedades de un espectral de medida: valores de viaje, los valores son selfadjoint proyecciones, $E(S)E(T)=E(S\cap T)$, etc.. Entonces no es difícil mostrar que el apoyo a $K$$E$$\sigma(A)$, cuando uno define el $A=\int \lambda dE(\lambda)$. Automáticamente $A^{\star}=\int \overline{\lambda}dE(\lambda)$.

Para mostrar $\sigma(A) \subseteq K$: Supongamos $\lambda \notin K$$d=\mbox{dist}(\lambda,K)$, y mostrar $\lambda \notin \sigma(A)$. Para ello, observe que, para cada una de las $x\in\mathscr{H}$, $$ \|(A-\lambda I)x\|^{2}=\int_{K}|\lambda\mu|^{2}d\|E(\mu)x\|^{2} \ge d^{2}\|E(\mu)x\|^{2} \ge d^{2}\|x\|^{2}. $$ Asimismo,$\|(A^{\star}-\overline{\lambda} I)x\|\ge d\|x\|$. Esto es cierto para todos los $x\in\mathscr{H}$. Debido a $A$ es normal, a continuación, $(A-\lambda I)$ es invertible. Por lo tanto $\sigma(A)\subseteq K$.

Para mostrar $K\subseteq \sigma(A)$: Supongamos $\lambda \in K$, y mostrar $\lambda \in \sigma(A)$. Deje $B_{r}(\lambda)$ el de apertura de la bola de radio $r$ centrada en $\lambda$. Por supuesto, para cada $r > 0$, $E(B_{r}(\lambda))\ne 0$, que da la existencia de la unidad de vectores $\{ x_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ tal que $E(B_{1/n}(\lambda))x_{n}=x_{n}$. Entonces $$ \|(A-\lambda I)x_{n}\|^{2}=\int_{|\mu-\lambda| < 1/n}|\mu-\lambda|^{2}d\|E(\mu)x_{n}\|^{2}\le \frac{1}{n^{2}}\int d\|E(\mu)x_{n}\|^{2}=\|x_{n}\|^{2}/n^{2}. $$ $\|(A-\lambda I)x_{n}\| \le \frac{1}{n}\|x_{n}\|$. Por lo $K\subseteq \sigma(A)$ porque $A-\lambda I$ no puede tener una continua inversa. Por lo tanto, $E(\sigma(A))=I$.