¿Es cada subvariedad totalmente geodésica el conjunto de puntos fijos de algunas isometrías?

Question

Es bien conocido que el conjunto de puntos fijos de una isometría $\phi:(M,g)\rightarrow (M,g)$ es totalmente una geodésica incrustado submanifold. (e.g aquí ).

Me pregunto si el contrario es cierto, yo.e es cada totalmente geodésica incrustado submanifold $N \subset M$ puede ser comprendido como el conjunto de puntos fijos de algunos isometrías?

Un trivial obstrucción es que $N$ debe ser cerrado.

(Puesto que el $Id,\phi $ son continuos y la diagonal en $M \times M$ es cerrado, el conjunto de puntos fijos es siempre cerrado en $M$).

Así, si asumimos $M$ está conectado, entonces tenemos que omitir de nuestra discusión abierta submanifolds (que creo que son todos totalmente geodésica, pero no puede ser cerrado, por lo tanto no puede ser un fijo de puntos-set).

Actualización: La respuesta es negativa. Un breve resumen de la idea: tomar una pequeña suficientemente compacto geodésica segmento. Cualquier isometría que corrige, debe "arreglar algunos más" de toda la geodésica que el segmento es una parte de.

Ahora me pregunto si cada una de estas submanifold debe ser el punto fijo de algunos diffeomorphism(s)? (no necesariamente es una isometría).

Answer 1

Esto simplemente no puede ser cierto. Un múltiplo riemanniano genérico no tiene ninguna isometría, pero aún así la imagen de cualquier geodésica es una subvariedad totalmente geodésica.

Answer 2

Creo que es poco probable que esto sea cierto. Tome una forma de tipo pesa con simetría de rotación. Haga que el bit de barra pellizque adentro. El círculo más pequeño es una subvariedad totalmente geodésica y la invariante bajo rotaciones. Ahora deformar el resto de la barra mientras se deja un pequeño barrio del círculo más pequeño sin cambios. Si lo hace grumoso suficiente no habrá isometrías.

Answer 3

Voy a elaborar basado en Andreas Tapa de la sugerencia.

En primer lugar me nota que me refería sólo a discutir incrustado submanifolds. (He editado la pregunta para incluir esta).

Ahora, ya que en general una geodésica puede intersecta a sí misma (incluso infinitamente muchas veces) que la imagen no es necesariamente una incrustado submanifold. (sólo una inmerso uno).

Sin embargo, ya que cada inmersión es localmente una incrustación, podemos tomar un "pequeño segmento" de cualquier geodésica, que estará integrado submanifold. En particular, podemos tomar el dominio de nuestro segmento de ser un compacto de intervalo, por lo que la imagen será compacto, por lo tanto cerrado, como es requerido por nuestro contraejemplo.

Esta va a ser una forma totalmente geodésica cerrado incrustado submanifold. (A ver es totalmente geodésica, solamente podemos señalar que cualquier geodésica en que se tiene a nivel local para minimizar la longitud, por lo tanto coinside con el original sub-segmento de la línea geodésica).

En particular, podemos tomar un ejemplo concreto $\mathbb{S^2}$. Tome $N$ cualquier contiguos parte de un gran círculo (que no es todo el círculo). Deje $\phi$ ser una isometría que corrige $N$. Ahora desde $\phi$ geodésica para geodésica, se debe tener un segmento de la gran círculo que intersecta $N$ pero no figura en ella, para sí mismo (por la singularidad de geodesics con un determinado punto de partida y la velocidad). Por lo tanto, $\phi$ correcciones más que $N$. (En realidad, es fácil ver $\phi$ debe arreglar todo el gran círculo).

En realidad esta respuesta muestra Andreas la idea puede ser aplicada a cualquier colector, que es: no Hay de Riemann colectores, cuya todas totalmente geodésica incrustado cerrado submanifold es el conjunto de puntos fijos de isometrías.