¿Cómo afecta la conversión entre la admitancia y la impedancia el ángulo de fase?

Question

Wikipedia me dice que admittance \$Y\$ es el recíproco de impedancia \$Z\$:

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Lo que me hace bastante claro, excepto que he olvidado cómo funcionan los números complejos de las matemáticas de la escuela secundaria. Si alguien me da una impedancia en coordenadas polares, digamos "10 ohmios a 40 grados", ¿hay una manera trivial de convertir esto a una admisión? Si se tratara de una simple resistencia, calcular la conductancia es fácil, \$ Y = Z^{-1} = \dfrac{1}{R+jX}\$. Pero, ¿qué sucede con el ángulo de fase?

Answer 1

Usted puede analizar la notación fasorial en un cuasi-2D Cartesiano de la moda. La parte real es la "x", y el complejo es parte de la "y".

Por lo tanto, dado un fasor magnitud M con ángulo Theta,

Usando trigonometría: \begin{equation} R = M \cos(\theta)\\ X = M \sin(\theta) \end{equation}

Ahora tenemos la impedancia compleja de I + Xj

Para invertir, usted puede multiplicar por el conjugado complejo (R - Xj) para el numerador y el denominador.

\begin{equation} Y = \frac{R - Xj}{(R + Xj)(R - Xj)} = \frac{R - Xj}{R^2 + X^2} \end{equation}

Para calcular la magnitud de la admisión, el uso de la fórmula de la distancia:

\begin{equation} M_Y = \sqrt{\left(\frac{R}{R^2 + X^2}\right)^2 + \left(\frac{-X}{R^2 + X^2}\right)^2} \end{equation}

Y la fase de la entrada:

\begin{equation} \theta_Y = \tan^{-1}\left(\frac{-X}{R}\right) \end{equation}

Tenga en cuenta que la tangente es un poco maniática para calcular el fasor ángulo de como tienes que ser cuidadoso sobre el cuadrante. Si usted está utilizando una computadora, que muchas veces tienen un "atan2" función que toma las coordenadas x e y directamente y calcula el CCW ángulo desde el eje X positivo.

Una mirada más cercana en el ángulo de fase de asignación, y parece que la admisión de ángulo de fase es sólo el reflejo de la impedancia de ángulo de fase sobre la real/el eje X.

Por ejemplo, una impedancia de fase ángulo de 45 grados es igual a un ingreso ángulo de fase de -45 grados.

Y esto tiene sentido si había utilizado algunas de las identidades de arriba:

\begin{equation} \theta_Y = -\tan^{-1}\left(\frac{X}{R}\right) = -\theta_X \end{equation}

Answer 2

Si recuerdo correctamente, el ángulo de fase sólo cambia el signo y que la intensidad disminuye. Así que si usted tenía la impedancia de 10 ohmios a 45 grados, se obtendría la admisión de alrededor de 0.1 siemens a -45 grados.

Hay que tener en cuenta que \$ j = \sqrt {-1}\$.

Vamos a ver si me pueden derivar que:

\$ Y=Z^{-1}=\dfrac{1}{R+jX}=\dfrac{1}{R+jX} \dfrac{R-jX}{R-jX}=\dfrac{R-jX}{R^2 + RjX -RjX - j^2X^2}=\dfrac{R-jX}{R^2+X^2}=\dfrac{R}{R^2+X^2}+j\dfrac{-X}{R^2+X^2}=G+jB \$

Por lo que el ángulo de conmutación debido a que el signo delante de la parte imaginaria de conmutación. La intensidad se redujo porque tenemos la \$R^2+X^2\$ componente. No hubo ningún cambio en el ángulo del valor absoluto porque nos disminución de ambas partes real e imaginaria por la misma cantidad por lo que su relación se mantuvo igual. El ángulo de fase de la entrada es \$ \arctan \left(\frac{B}{G}\right)\$ y desde que divide ambos componentes por el mismo número, el valor absoluto de la relación se mantuvo constante.

Un "rápido" de manera de obtener la \$R^2+X^2\$ parte sería para calcular el seno y el coseno del ángulo multiplicado por la intensidad. Así que si tenemos \$Z=\vert Z\vert e^{\alpha}\$ tendríamos que usar \$R^2= [\vert Z \vert \cos(\alpha)]^2, X^2=[\vert Z \vert \sin(\alpha)]^2 \$ que debería ser bastante fácil de hacer con una simple calculadora. A continuación, nos gustaría añadir los dos juntos, dividir la intensidad de uso de ellos y voltear el ángulo de modo que obtenemos:

\$Y= \dfrac{1}{ \vert Z \vert\ e^{a}}= \dfrac { \vert Z \vert}{[\vert Z \vert \cos(\alpha)]^2+[\vert Z \vert \sin(\alpha)]^2}e^{-\alpha} =\dfrac{1}{\vert Z \vert [\cos^2(\alpha)+sin^2(\alpha)]}e^{- \alpha}=\dfrac{1}{\vert Z \vert}e^{- \alpha}\$

lo que debería haber sido obvio para mí desde el principio.

Así que la final de la fórmula para la conversión rápida es: \$Y= \dfrac{1}{ \vert Z \vert\ e^{a}}=\dfrac{1}{\vert Z \vert}e^{- \alpha}\$