Cómo probar $ \prod_ {i=1}^{ \infty } (1-a_n) = 0$ iff $ \sum_ {i=1}^{ \infty } a_n = \infty $ ?

Question

Dado ${a_n}$ es una secuencia infinita, y $0 < a_n < 1$ cómo probar

$$ \prod_ {i=1}^{ \infty } (1-a_n) = 0 \text { if and only if } \sum_ {i=1}^{ \infty } a_n = \infty $$

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Utilice $1-a_n \leq e^{-a_n}$ para $ \sum_{i=1}^{\infty} a_n = \infty \implies \prod_{i=1}^{\infty} (1-a_n) = 0$

Para la otra dirección, defina variables aleatorias uniformes independientes $(U_n)_{n\geq 1}$ y $A_n =\{U_n < a_n\}$ entonces tenemos $\prod_{n=1}^{+\infty}P(A_n^c) = 0$

Utilice el lema de Borel-Cantelli como aquí permite concluir.

Para una prueba no pobabilística, véase la prueba y el primer comentario aquí