Subespacio de$L(V)$

Question

Supongamos que$V$ es finito y$E$ es un subespacio de$L(V)$ tal que$ST\in E$ y% #% . Demuestre que$TS \in E$ o$S \in L(V)$.

Cuando$T\in E$ no es trivial, quiero probar que$E=\{0\}$. Entonces podemos deducir que$E =L(V)$ y estamos hechos. Sin embargo, no sé cómo utilizar el hecho '$E$ y$1 \in E$'.

Para mí,$L(V) \subset E$ es un anillo y claramente$ST\in E$ es un ideal de anillo. Sin embargo, ¿por qué$TS \in E$

Answer 1

Sea$v_1,\ldots,v_n$ una base para$V$. Dejar $0\neq T\in E$. Así que existe$ v\in V$ tal que$T(v)\neq 0$.

Sea$R_i\in L(V)$ tal que$R_i(v_i)=v$ y$R_{i}(v_j)=0$, para$1\leq i\neq j\leq n$.

Sea$S_i\in L(V)$ tal que$S_i(T(v))=v_i$, para$1\leq i\leq n$.

Por lo tanto,$\sum_{i=1}^nS_iTR_i(v_j)=S_jTR_j(v_j)=S_jT(v)=v_j$ para$1\leq j\leq n$. Así,$\sum_{i=1}^nS_iTR_i=Id$ y como$S_iTR_i\in E$, obtenemos$Id\in E$.

Si$S\in L(V)$ entonces$Id.S=S\in E$.