Probar una desigualdad que implica normas de funciones reales.

Question

Si $ f : [a,b] \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ es continua y diferenciable en a $(a,b)$, entonces se puede definir una norma para funciones tales como

$$ \|f\| = |f(a)| + \max_{x \in (a,b)} |f ^\prime(x)| $$

Ya he comprobado que se trata de hecho de una norma.

Ahora estoy tratando de demostrar que esta desigualdad se cumple.

$$ \max_{x \in [a,b]} |f(x)| \leq (1+b-a)\|f\| $$

Hay una sugerencia de que yo debería recordar que $f(x) = f(a) +\int_{a}^{x}f^\prime(t) dt$

He intentado varios métodos sin éxito.

Si dejo $\theta = \arg\max|f(x)|$ $\lambda = \arg\max|f^\prime(x)|$

A continuación, podría utilizar la pista y decir que

$$ \|f\| = \|f(a) + \int_{a}^{x}f^\prime(t) dt \| \leq \|f(a)\| + \|\int_{a}^{x}f^\prime(t) dt \| $$

y yo podría conseguir que

$$ 0 \leq \|f\| \leq |f(\theta)| + |f^\prime(\lambda)| $$

pero ahora he a $|f(\theta)| $ en el lado equivocado de la desigualdad y no puedo encontrar una manera de mover las cosas para que yo pudiera conseguir algo cerca de mi objetivo.

Traté de definir una función de $g(x) = (1+b-a)f(x)$, y, a continuación, sólo tiene que demostrar que $|f(\theta)| \leq \|g\|$, pero no puedo encontrar la manera de hacerlo.

Cualquier sugerencia sería muy apreciada, especialmente acerca de cómo utilizar la pista ya tengo.

Answer 1

Tenemos$$\left|f\left(x\right)\right|=\left|f\left(a\right)+\int_{a}^{x}f'\left(t\right)dt\right|\leq\left|f\left(a\right)\right|+\int_{a}^{x}\left|f'\left(t\right)\right|dt\leq\left|f\left(a\right)\right|+\max_{t\in\left(a,b\right)}\left|f'\left(t\right)\right|\left(b-a\right)\leq\left(1+b-a\right)\left|f\left(a\right)\right|+\max_{t\in\left(a,b\right)}\left|f'\left(t\right)\right|\left(1+b-a\right)=\left(1+b-a\right)\left\Vert f\right\Vert$ $ porque$b-a>0$ y$1<1+b-a$. Entonce

Answer 2

Aquí hay otro enfoque:

Usando el MVT, tenemos que para cualquier$x$ podemos encontrar un$c$ tal que$$f(x)-f(a)=f'(c)(x-a).$ $ Rearranging da:$$f(x)=f(a)+f'(c)(x-a).$ $ Toma de valores absolutos y uso de la desigualdad triangular$$|f(x)|=|f(a)+f'(c)(x-a)|\leq |f(a)|+|f'(c)|\cdot|(x-a)|$$ Luego tomar el máximo de todo: $$ \begin{aligned} \max|f(x)|&\leq |f(a)|+\max|f'(c)|\cdot\max|(x-a)|\\ &\leq|f(a)|+\max|f'(x)|\cdot (b-a) \\ \end {aligned} $$

Esta es una condición mucho más fuerte. Así que añadimos al lado derecho$|f(a)|(b-a)+\max|f'(x)|$ para obtener $$ \begin{aligned} \max|f(x)|&\leq|f(a)|+\max|f'(x)| (b-a)+|f(a)|(b-a)+\max|f'(x)|\\ &=(|f(a)|+\max|f'(x)|) (1+b-a) \\ &=||f||(1+b-a) . \end {aligned} $$