Más Teorema del Resto Chino "General"

Question

Sé del Teorema del Resto Chino, pero tengo la sensación de que es sólo la versión 'básica' de la misma.

Del Teorema del Resto de China, sabemos que, para$m,\in\mathbb{Z}$ tal que$\text{gcd}(m,n)=1$,$C_{mn}\cong C_{m}\times C_{n}$. ¿Es cierto entonces que$C_{p_{1}^{r_{1}}\ldots p_{n}^{r_{n}}}\cong C_{p_{1}^{r_{1}}}\times\ldots\times C_{p_{n}^{r_{n}}}$, donde$p_{i}^{r_{i}}$ s son números primos (distintos)?

Answer 1

Sí, por supuesto. Sólo puede establecer $m := p_1^{r_1}$ $n = p_2^{r_2}p_3^{r_3}\cdot \ldots \cdot p_n^{r_n}$ e iniciar una recursividad a partir de ahí. El teorema es verdadero de una manera contexto más general, ver https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem#Generalization_to_arbitrary_rings para obtener más detalles. Sin embargo, en esta configuración general, usted consigue solamente una existencia resultado, no de los algoritmos a la realidad calcular el isomorfismo en general.

Answer 2

Las otras respuestas ya han respondido a la perfección. Para aquellos que quieren incluso una versión más general del teorema, se puede encontrar en álgebra Universal :

Deje $A$ ser un álgebra, $\theta_0, \theta_1$ dos congruencias en $A$ que son permutable (es decir,$\theta_0 \theta_1 = \theta_1\theta_0$), y tal que $\theta_0\land \theta_1 = \Delta$, $\theta_0 \lor \theta_1 = \Omega$ ($\Delta= \{(a,a), a\in A\}, \Omega = \{(a,b), a,b\in A\}$).

A continuación,$A \simeq A/\theta_0 \times A/\theta_1$.

La obvia morfismos está bien definida porque son congruencias, es surjective debido a la condición anterior y debido a que son permutable (porque entonces, $\theta_0\lor\theta_1 = \theta_0\theta_1$), y es inyectiva porque sus g.l.b. es $\Delta$

Answer 3

Sí lo es. De hecho, hay una versión aún más general. Sea$A$ un anillo y$I,J$ dos ideales de$A$. Luego hay un morfismo obvio$$f:A\to \frac{A}{I}\times \frac{A}{J}$ $ enviando cada$a$ a$(a+I,a+J)$. No es difícil comprobar que$\mathsf{ker}(f)=I\cap J$. Ahora, puedes ver que si$I+J=A$ (es decir si son coprime) entonces$I\cap J=IJ$ y$f$ resultan ser sobrejective (es una especie de truco de identidad de Bezout).