¿Tiene esta estructura algebraica un nombre?

Question

Considere un conjunto ordenado $(X,\geq)$ con una operación binaria $*$ que satisface los siguientes axiomas:

A1 (Cierre) $\forall a,b\in X, a*b \in X$

A2 (Asociatividad) $\forall a,b,c\in X, (a*b)*c = a*(b*c)$

A3 (Identidad) $\exists e\in X$ s.t. $\forall a\in X, a*e=a$

A4 (Conmutatividad) $\forall a,b\in X, a*b=b*a$

A5 (???) $\forall a,b\in X, a*b \geq a$

A6 (???) $\forall a,b\in X$ s.t. $a\geq b, \exists c\in X$ s.t $b*c=a$

Así, es un poco como un grupo Abelian con dos modificaciones:

• Es un conjunto ordenado y la "suma" es siempre más grande que la de sus componentes (A5)
• Invertability es reemplazado con un cierto "divisibilidad" (A6)

Axioma A6 parece "natural" de reemplazo para invertability dado A5. (Tenga en cuenta que A5, excluye la existencia de una relación inversa)

Hacer axiomas A5 y A6 estándar nombres? Son ya conocidos de otras estructuras? ¿Esta estructura general tiene un nombre?

Answer 1

Dejar $a\ge b, \ a=b*c$. Entonces, para cada$x$ tenemos$a*x=b*c*x\ge b*x$. Así que$X$ es un monoide conmutativo ordenado.

Adición: En [G.Birkhoff, Lattice Theory (3ed, 1967) Chapt.XIV.2] ordenó un monoide en el que$a\le b$ es equivalente a$b\in Xa\ \& \ b\in aX$, se llama un monoid de divisibilidad .

Answer 2

No (A5) y (A6) en realidad$$ \forall a,b, \, a \leq b \iff b \in (a) \quad ?$ $ (donde$(x)$ indica el ideal (bilateral) generado por$x$.)

Entonces su estructura es sólo un monoide conmutativo, porque el orden siempre está implícitamente aquí.