Motivo de la inversión de la orden cuando se transpone e inversa de un grupo de matrices

Question

Siempre que hay una transposición o inversa de un grupo de matrices, simplemente invierto su orden. Por ejemplo:$(ABC)^{-1} = C^{-1}B^{-1}A^{-1}$ y$(ABC)^{T} = C^{T}B^{T}A^{T}$

Pero por lo general, estoy tomando esta "regla" inversa para concedido sin realmente saber por qué tengo que invertir su orden siempre que haya una inversa o transponer.

¿Cuál es la razón para revertir su orden?

Answer 1

Por la inversa, sólo se puede aplicar la definición y cálculo:

$(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=id$

y de manera similar a $(b^{-1}a^{-1})(ab)=id$. Por lo tanto $b^{-1}a^{-1}$ es un (y por la singularidad de la recíproca, la inversa de a $ab$.

Una forma popular para 'explicar' esto es diciendo que "la inversa de 'ponerse los calcetines y luego los zapatos', es 'de quitarse los zapatos y, a continuación, calcetines'".

Para la transposición, también se puede aplicar la definición: si $A$ tiene elementos de la matriz de $(a_{ij})_{ij}$, $A^T$ tiene elementos de la matriz de $(a_{ji})_{ij}$. A continuación, calcular los elementos de la matriz de $(AB)^T$ e de $B^TA^T$ y ver que son iguales.

Una más conceptual, sin embargo, es la siguiente: teniendo el doble es un functor contravariante. Es decir, lineal mapa de $A:V\to W$ tiene un doble mapa de $A^*:W^*\to V^*$ entre los duales de los espacios (en la otra dirección!), y esto es compatible con la composición: $(A\circ B)^*=B^*\circ A^*$. La definición es $A^*=-\circ A$, por lo que sólo precomponer lineal funcional con $A$; la composición de la propiedad, a continuación, inmediata. Ahora si $A$ ha matriz $a_{ij}$ con respeto a algunas bases de $V,W$, entonces la matriz de $A^*$ w.r.t. el correspondiente doble bases de $V^*,W^*$ $a_{ji}$ (esto es fácil de comprobar por la redacción de las definiciones).

Answer 2

Para inverses, existe una interpretación de "sentido común". Para deshacer un procedimiento de pasos múltiples, deshaga cada paso en el orden inverso al que lo hizo. Ejemplo

 Procedure: Dress your feet
1.  Put on socks.
2.  Put on shoes.
3.  Tie shoes.

To undo:
1.  Untie shoes
2.  Remove shoes
3.  Remove socks.
 

Este principio es aplicable a la composición de funciones en general. Mis estudiantes encuentran la explicación plausible y aceptable.

Answer 3

(AB) ^ - 1 = B ^ -1 A ^ -1 multiplicar AB en ambos lados y dividir por AB el valor no cambiará así. AB (AB) ^ - 1 = B ^ -1 A ^ -1 (AB ) (AB) ^ - 1 = B ^ -1 A ^ -1 (AB) / AB (AB) ^ - 1 = B ^ -1 A ^ -1