Evaluar $\lim \limits_{n\to \infty}\{(2+\sqrt{3})^n\}$ , donde $\{\cdot\}$ - es la parte fraccionaria.
Lo siento pero no tengo ninguna idea. He utilizado el teorema del binomio pero no hay resultados. Por cierto sé que $[(2+\sqrt{3})^n]$ es siempre el número impar.
Estaría muy agradecido si alguien muestra una prueba.
Se puede demostrar fácilmente una vez que se sabe que $(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n$ es un número entero. Pruébalo.
Observe que $2+\sqrt3$ es una raíz de $x^2-4x+1=0$ que corresponde a la ecuación de recurrencia
$$a_{n+2}=4a_{n+1}-a_n.$$
La solución general es $a_n=a_+(2+\sqrt3)^n+a_-(2-\sqrt3)^n$ y tomando $a_+=a_-=1$ tenemos
$$a_0=2\\a_1=4,\\a_n=(2+\sqrt3)^n+(2-\sqrt3)^n\in\mathbb Z.$$
Como $0<2-\sqrt3<1$ el segundo término va a cero por valores positivos, y los límites solicitados son $$1.$$
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La parte fraccionaria es una parte de la vida.
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Una pista. ¿Puede comprobar que $(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n$ es siempre un número entero?
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@SangchulLee, Sí, conozco este hecho. No es tan difícil.
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Observe también que $0 < (2-\sqrt{3})^n < 1$ y en consecuencia $\{ (2+\sqrt{3})^n \} = 1 - (2-\sqrt{3})^n$ .
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@SangchulLee, Cómo se consigue $\{(2+\sqrt{3})^n\}=1-(2-\sqrt{3})^n$ ?
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Permítanme simplificar la situación: Si $n$ es un número entero y $0 < \delta < 1$ Entonces, ¿podría comprobar que $\{n-\delta\} = 1-\delta$ ?
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@SangchulLee, Sí puedo.
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Entonces, ¿qué le molesta para llegar a la conclusión? Puedes simplemente tomar $n$ y $\delta$ como $(2+\sqrt{3})^n + (2-\sqrt{3})^n \in \Bbb{Z}$ y $(2-\sqrt{3})^n \in (0, 1)$ .
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@SangchulLee, ¡muchas gracias! ¡Buena solución! +1
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@SangchulLee tengo una duda ¿Cómo? $(2 + \sqrt 3)$ } = $1 - (2 + \sqrt 3)^n $ ya que según tu fórmula $n - \delta $ } = $1- \delta$ . Mi confusión es que cómo { $n - \delta$ } ={ $(2 + \sqrt 3)^n$ } ???