Resolver $x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx = 2w^2$

Question

Resolver en números enteros la ecuación $$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx = 2w^2.$$

Una solución trivial de la ecuación es $x = y = z = w = 0$ . Podemos reescribir la ecuación dada como $$(x+y)^2+(x+z)^2+(y+z)^2 = 4w^2.$$ Luego pensé en hacer una sustitución, pero no vi cómo hacerlo sin llegar a ser computacional. ¿Cómo podemos continuar?

Answer 1

Las soluciones primitivas de $$ a^2 + b^2 + c^2 = d^2, $$ es decir $$ \gcd(a,b,c,d) = 1, $$ están dadas por la norma del cuaternión; debemos tener $d$ impar y uno de los otros, dicen $a.$ también. Entonces $$ a = p^2 + q^2 - r^2 - s^2, $$ $$ b = 2(-ps +qr), $$ $$ c = 2(pr+qs), $$ $$ d = p^2 + q^2 + r^2 + s^2. $$ Esto es con $p+q+r+s$ impar, junto con $\gcd(p,q,r,s)=1.$ Esta fórmula era seguramente conocida por Euler. Sin embargo, la primera prueba aceptable de que todas las soluciones primitivas ocurren de esta manera fue de L. E. Dickson, alrededor de 1920.

Hay una manera de obtener las fórmulas anteriores. No he utilizado la letra $t$ sin embargo, toma $$ t = p + qi + rj + sk, $$ entonces $$ \bar{t}i t = ai+bj+ck. $$

Tenga en cuenta que, para su $e^2 + f^2 + g^2 = 4 w^2,$ debemos tener $e,f,g$ todo parejo. Así que, toma $$ x+y = 2a, y+z = 2b, z+x = 2c, w = d. $$ Al parecer, $$ x = a-b+c, \; \; y = a+b - c, \; \; z = -a +b+c. $$ Muy heroniano, y todo impar.

Para los curiosos, los valores enteros de $$ x^2 + y^2 + z^2 + yz + zx + xy $$ son exactamente los mismos que los valores enteros de $$ u^2 + v^2 + 2 w^2, $$ es decir, todos los enteros positivos excepto $$ 4^k (16 n + 14). $$ Ver ME