El característico grupo de McLain

Question

Dado un campo $\mathbb{F}$ se puede construir el $\mathbb{F}$ -sobre el conjunto de los números racionales. Supongamos que $(v_x)_{x \in \mathbb{Q}}$ es una base de este espacio lineal (indexado por los números racionales). Para cada par de números racionales $x <y$ considere $e_{xy}$ la transformación lineal que mapea $v_x$ a $v_y$ y asigna los demás elementos de la base a $0$ . Ahora definimos el grupo McLain $M=\operatorname{M}(\mathbb{Q},\mathbb{F})$ para ser el grupo generado por todas las transformaciones lineales de la forma $1+ae_{xy}$ , $x<y$ y $a \in \mathbb{F}$ (nótese que todas estas transformaciones son invertibles).
Una descripción de tal grupo se encuentra en "A course in the Theory of Groups" de Robinson, 12.1.9 o en el papel de Philip Hall o en el trabajo original de McLain o en ``Finiteness Conditions and Generalized Soluble Groups'' de Robinson, Vol. 2, p.14.

Estaba tratando de demostrar que el grupo McLain es directamente indecomponible, pero no puedo lograrlo.

Digamos que $M=H\times K$ ( $H$ y $K$ tanto los subgrupos no triviales como los normales de $M$ ) con $[H,\, K]=1$ Sé que en cada subgrupo normal se puede encontrar un generador $1+ae_{xy}$ pero no veo cómo relacionar estos dos subgrupos normales.

Cualquier idea será apreciada.

Tenga en cuenta que el hecho de que $M$ es directamente indecomponible es sólo una suposición mía, así que puedo estar equivocado.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$ [1+\gamma e_{xy}, 1+\delta e_{yz}] = (1-\gamma e_{xy})(1-\delta e_{yz})(1+\gamma e_{xy})(1+\delta e_{yz}) = 1 + \gamma\delta e_{xz}. $$

En la pregunta se indica que si $L$ es un subgrupo normal de $G$ entonces $L$ contiene algunos $1+\alpha e_{xy}$ . Tomando conmutadores con $1+\beta e_{wx}$ y $1+\beta e_{yz}$ para $w < x$ y $z > y$ se deduce que $L$ contiene todos los $1 + e_{wz}$ con $w \le x < y \le z$ . Por lo tanto, dos subgrupos normales cualesquiera de $G$ se cruzan.

(La primera versión de esta respuesta era errónea porque pasé por alto la condición $x < y$ en la definición del grupo McLain).