La ecuación de Dirac con una matriz de 6x6

Question

La ecuación de Dirac es $$ i\hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\left[c\sum_i{\alpha_i p_i}+mc^2\beta\right]\Psi $$ con las restricciones $$ \{ \alpha_i,\alpha_j\}=2\delta_{ij} \\ \{ \alpha_i, \beta\}=0 \\ \{ \beta, \beta\}=2 $$ impuesta para obtener la dispersión relativista $E^2=(mc^2)^2+(pc)^2$ . En 3D, el tamaño más pequeño permitido para el $\alpha$ y $\beta$ es 4x4, y esto describe una partícula de espín 1/2.

He oído que el uso de matrices 6x6 describe una partícula de espín 1. También he oído que las ecuaciones de Maxwell se derivan de la ecuación de Dirac utilizando matrices de 6x6. ¿Es esto cierto? Si es así, ¿tienes una referencia para esto? Si no es así, ¿qué ocurre si intento utilizar una matriz de 6x6 o más grande para describir una partícula?

Además, sé que las matrices 2x2 describen una partícula de espín 1/2 en 2D. ¿Existe una ecuación de Dirac análoga para 1D? Me doy cuenta de que las rotaciones propias no tienen sentido en 1D, así que no espero que haya una Ecuación de Dirac en 1D, pero si la hay, por favor corrígeme.

Answer 1

El tensor de campo electromagnético expresado en notación de espinor:

$F_{A C \dot{B}\dot{D}}=\sigma^{\mu}_{A \dot{B}}\sigma^{\nu}_{C \dot{D}} F_{\mu \nu}$

se descompone en una parte dual propia y otra dual antipropia:

$F_{A C \dot{B}\dot{D}}=\epsilon_{AC} \phi_{ \dot{B}\dot{D}} + \epsilon_{\dot{B}\dot{D}} \phi_{AC } $

(Donde $\phi_{AC}$ es simétrica, por lo que contiene 3 componentes independientes. Los componentes de $\phi_{AC}$ son sólo $\mathbf{E} + i \mathbf{B}$ )

Para una teoría de Maxwell sin fuente, las ecuaciones de Maxwell son equivalentes a dos ecuaciones de Dirac homogéneas en las partes autoduales y antiduales:

$\nabla^{A}_{\dot{B}} \phi_{AC } = 0$

$\nabla^{\dot{B}}_{A} \phi_{\dot{B}\dot{D} } = 0$

Como cada ecuación tiene 3 componentes independientes, se pueden combinar para obtener una ecuación matricial de 6 dimensiones.

Observación: Para una introducción a la notación de espinores de dos componentes, véase para ejemplos el apéndice de notas de clase por: Christian Saemann