Funciones cuyas derivadas pueden escribirse como una función de uno mismo?

Question

¿Qué tipo de función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ puede ser escrita como una función de sí mismo? I. e. $f'(x) = g(f(x))$ para algunos la función $g$?

Si $f$ es dado, puede $g$ ser resuelto en términos del símbolo $f$ (no en términos específicos,$f$), si $g$ existe?

Mi pregunta está relacionada con la parte 3 de mi otra pregunta, que le pregunta sobre cuando la varianza puede ser representada como una función de la media, tanto como las funciones de un parámetro de distribución, y, en particular, cuando la varianza es la derivada de la media.

Gracias!

Answer 1

Una condición necesaria y suficiente es que$[f(x_1)=f(x_2)\implies f'(x_1)=f'(x_2)]$.

Cuando se cumple esta condición, se puede definir$g$ como sigue:

• Si$t$ no está en$f(\mathbb R)$, entonces$g(t)=0$.
• Si$t$ está en$f(\mathbb R)$, entonces$g(t)=f'(x)$ para cualquier$x$ tal que$t=f(x)$.

La condición anterior es lo que se necesita para que la segunda parte de esta definición sea independiente de la elección de$x$.

Por lo tanto, las funciones estrictamente monótonas (lisas)$f$ están bien, pero$f=\cos$ no lo es.

Answer 2

Pensé que de alguna manera encontraría una manera de probar$S=L \cup I$, pero al mirar la respuesta de Did, empecé a dudar, así que publicaré eso por el momento y editaré si encuentro algo.

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Dejar $S=\left\{f \in \mathcal C^1\left(\Bbb R, \Bbb R\right) \mid \exists g \in \mathcal F\left(\Bbb R,\Bbb R\right), \forall x \in \Bbb R, f'(x) = g(f(x))\right\}$

Dejar $A=\left\{x \mapsto ax+b \mid a,b \in \Bbb R\right\}$

Dejar $I=\left\{f\in C^1\left(\Bbb R, \Bbb R\right)\mid \forall x,y \in \Bbb R, f(x)=f(y) \implies x = y\right\}$

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Dejar $f\in A$

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Así que podemos tomar$\forall x \in \Bbb R,f'(x)=k=k\Bbb 1(x)$

Asi que $g=k\Bbb 1$

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Dejar $f \in S$

Podemos encontrar$\boxed{A \subset S}$ para que

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Entonces, tenemos que$f\in I$ así que podemos tomar$h:f\left(\Bbb R\right) \to \Bbb R$

Asi que $\forall x \in \Bbb R, h(f(x))=x$

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