Cómo mostrar que $\frac{\pi}{5}\leq\int_0^1 x^x\,dx\leq\frac{\pi}{4}$

Question

Muestran que: $$\frac{\pi}{5}\leq\int_0^1 x^x\,dx\leq\frac{\pi}{4}

Lo único que he conseguido hasta ahora es que el mínimo de $x^x$ $e^{-1/e}$. En este punto pude comparar $\pi/5$ $e^{-1/e}$ pero debo probar ambos lados sin usar la calculadora. Esto es lo único que he conseguido en el momento.

Answer 1

Cambio variables $x\mapsto e^{-x}$ rinde $$\begin{align} \int_0^1(x\log(x))^n\,\mathrm{d}x &=\int_\infty^0(-xe^{-x})^n\,\mathrm{d}e^{-x}\\ &=(-1)^n\int_0^\infty x^ne^{-(n+1)x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{(-1)^n}{(n+1)^{n+1}}\int_0^\infty x^ne^{-x}\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{(-1)^nn!}{(n+1)^{n+1}}\tag{1} \end {Alinee el}$$ Pluging $(1)$ $\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ nos da $$\int_0^1x^x\,\mathrm{d}x=\sum_{n=0}^\infty\frac {(-1) ^ n} {(n+1) ^ {n+1}} \tag {2}$$ como una serie alterna con la disminución de valores absolutos, sabemos que mediante el uso de $(2)$, $$\begin{align} \int_0^1x^x\,\mathrm{d}x &>1-\frac14\\ &=\frac34\\ &>\pi/5\tag{3} \end {alinee el} $ y$$ \begin{align} \int_0^1x^x\,\mathrm{d}x &<1-\frac14+\frac{1}{27}-\frac{1}{256}+\frac{1}{3125}\\ &=\frac{16922537}{21600000}\\ &<\pi/4\tag{4} \end {alinee el} $$

Answer 2

Ya se ha mencionado en los comentarios que el mínimo de el integrando (que es $(1/\mathrm e)^{1/\mathrm e}$, no $\mathrm e^{1/\mathrm e}$) es mayor que $\pi/5$. Sin embargo, demostrando que $(1/\mathrm e)^{1/\mathrm e}\gt\pi/5$ sin una calculadora probablemente sería algo tedioso. Un enlace para que esto sería un poco más fácil, puede ser obtenida mediante el uso de la convexidad de la función exponencial:

$$\begin{align} \int_0^1x^x\mathrm dx=\int_0^1\exp(x\log x)\,\mathrm dx\ge\exp\left(\int_0^1x\log x\,\mathrm dx\right)=\exp\left(-\frac14\right)\gt\frac\pi5\;.\end{align}$$

Usted todavía necesita para evaluar a una pareja de términos de algunas series cuyos límites de error de saber con el fin de probar la última desigualdad, pero debería ser un poco más fácil que la de $(1/\mathrm e)^{1/\mathrm e}$.