Una pregunta de aprendizaje sobre las formas de volumen

Question

Estoy aprendiendo diferencial de colector y tengo una pregunta.

¿Cómo podemos calcular el área de la superficie? O cómo calcular el volumen de un submanifold? Como para el área de la superficie de $S^n$ si $\phi$ es la incrustación de objetos en el mapa, entonces parece que $S=\int\phi^*(\sum_{j=1}^{n+1}(-1)^{j-1}x_j dx_1\wedge dx_2...dx_{j-1}\wedge dx_{j+1}...\wedge dx_{n+1})$ según la página web que he encontrado. Pero de dónde vino esa forma de volumen? Para un caso general, si $(N,\phi)$ es una n-dimensión submanifold de integración en una m-dimensión de la variedad M, ¿cuál es la n-la forma en la $A(M)$ que debe ser llevada hacia atrás y la integración de $N$?

Gracias por su paciencia.

Answer 1

Creo que, en general, el mejor método es el siguiente: Para toda esta discusión, empezamos con una métrica de Riemann $ds^2$$M$, y nos fijamos en la inducida por la métrica de Riemann $i^*ds^2$$N$. Escribimos $$i^*ds^2 = \sum_{j=1}^n \omega^j\otimes\omega^j$$ para una adecuada recolección de $1$formas de $\omega^j$. A continuación, la inducida por volumen ("área") en $N$$\omega^1\wedge\dots\wedge\omega^n$.

Por ejemplo, considere el $S^2\hookrightarrow \mathbb R^3$. Considerando coordenadas esféricas, $i(\phi,\theta) = (\sin\phi\cos\theta,\sin\phi\sin\theta,\cos\phi)$, tenemos $$\begin{align*} i^*ds^2_{\mathbb R^3} &= i^*\big(dx^1\otimes dx^1+ dx^2\otimes dx^2+dx^3\otimes dx^3\big) \\ &= d\phi\otimes d\phi + \sin^2\phi\, d\theta\otimes d\theta \\ &= \omega^1\otimes\omega^1 + \omega^2\otimes\omega^2\,, \end{align*}$$ donde$\omega^1 = d\phi$$\omega^2 = \sin\phi\,d\theta$. [Fin de que estas para dar la orientación que queremos en el submanifold.] A continuación, nuestra área de formulario en $S^2$ es $$\omega^1\wedge\omega^2 = \sin\phi\,d\phi\wedge d\theta\,.$$