Generalmente se argumenta (y también bromeó acerca de) que la clasificación de los conjuntos abiertos y cerrados es un poco paradójico, ya que puede ser abierta y cerrada al mismo tiempo, o ninguno. Esto puede ser analizado de manera muy clara al señalar que cerrado es un antónimo de abierto: significa exactamente no se abre (y viceversa). Entonces, al decir que un conjunto es clopen, o abiertas y cerradas, que son, en cierto modo, alegando que el conjunto es abierto y no se abra, y esto es una contradicción básica desde un punto de vista lógico.
Mientras no me atrevo a pensar que me puede hacer un impacto en el uso de estos términos por cambiar la manera en que yo mismo llamar a algunos de los conjuntos, sería mucho más fácil para mí, al menos, pensar en ellos con diferentes nombres. Particularmente, me he estado preguntando acerca de la exactitud de decir co-abrir en lugar de cerrado.
En primer lugar, tiene sentido porque es más natural para ver el vínculo entre la declaración $A$ es co-abierto y el complemento de $A$ está abierto. También, desde la complementación es una involución, en algunos naturales de manera que podemos decir que un co-co-conjunto abierto, que podemos entender como un conjunto cuyo complemento tiene un complemento, no es sino un conjunto abierto; este, creo, es el comportamiento deseable para el uso de la co- prefijo.
Mi última preocupación acerca de la exactitud de uso co-abierto es que el co- prefijo se utiliza ampliamente en la categoría de teoría, y se formaliza mediante la noción de la dualidad (por nombrar un par de ejemplos: inicial y coinitial, o terminal y coterminales, producto y subproducto, límite y colimit, cono y cocone). Así que me he estado preguntando si debe haber una cierta rotundidad en la formulación de una topología de manera que el decir" $A$ es co-abierta en $\mathcal{C}$ era equivalente a decir $A$ está abierto en $\mathcal{C}^{op}$donde $\mathcal{C}$ fue la categórica formulación de una topología en la que $A$ es un conjunto cerrado. Esto, con el fin de justificar el uso de la co- con la dualidad.
Sin embargo, soy consciente de la existencia de otros términos que comienzan con el prefijo co- pero, yo creo, no tiene una posible formulación categórica o que fueron nombrados antes de que se redefine en términos de nociones categóricas, como cologarithm, coseno, la cosecante, la cotangente, cotree.
Mi pregunta sería: dejando de lado la cuestión de que cada matemático escribe cerrado, podría co-abierto se considera correcto como una terminología alternativa, basada en los puntos que he expuesto, y en otros en los que posiblemente podría haber pasado por alto? Al final, si co-abierto es correcta, esto sólo será útil para mis propios motivos pedagógicos.
Gracias.
