Si un espacio topológico puede dividirse en un número finito de subespacios contables, ¿es contable? [Recopilación de ejemplos]

Question

Un espacio topológico es segundo contable si su topología tiene una base contable.

Dejemos que $(X,\tau)$ sea un espacio topológico.

Supongamos que existe $S_1,\ldots, S_n$ es una partición finita de $X$ tal que, para cada $1\leq i \leq n$ el subespacio $(S_i,\tau|_{S_i})$ es segundo contable. ¿Se deduce que $(X,\tau)$ ¿el segundo es contable?

Ya se ha dado una respuesta negativa a esta pregunta, pero me interesaría conocer más contraejemplos.

David Hartley ha sugerido esta pregunta de seguimiento:

Si $(X,\tau)$ es contable en primer lugar y puede dividirse en un número finito de subespacios contables en segundo lugar, es $(X,\tau)$ ¿segundo contable?

Answer 1

Sea X el resultado de pegar infinitas copias de [0,1] en 0. No es contable en segundo lugar, incluso no es contable en primer lugar en 0. Pero {0} y X - {0} son contables en segundo lugar.

(ETA) Supongamos que Y es un espacio incontable, segundo contable, T1 y Z un espacio contable, discreto, siendo Y y Z disjuntos. Sea X su unión con la topología con una base que comprende los conjuntos abiertos de Y y conjuntos de la forma C{z} con zZ y C un subconjunto cofinito de Y. X no es contable en primer lugar ya que ningún punto de Z tiene una base de vecindad contable en X, pero se divide en Y y Z que son ambos contables en segundo lugar.

Ambos ejemplos dependen de que X no sea contable en primer lugar, lo que sugiere la siguiente pregunta: Si un espacio contable en primer lugar puede dividirse en dos subespacios contables en segundo lugar, ¿es contable en segundo lugar?

Answer 2

En General Topology de R.Engelking se da este ejemplo para demostrar que la imagen $X_{/E}$ de una cartografía cotizada $f:X\to X_{/E}$ con clases de equivalencia cerradas puede no ser $1$ st-contable incluso cuando $X$ es $2$ nd-contable:

Dejemos que $X=\mathbb R$ tienen la topología habitual. Tome $p\not \in X.$ Para $x,y \in \mathbb R$ dejar $xEy$ si $(x=y\lor \{x,y\}\subset Z).$ Dejemos que $Y=(X$ \ $\mathbb Z) \cup \{p\}$ . El mapa de cociente $f:X\to Y$ , donde $f(x)=x$ si $x\not \in Z$ y $f(x)=p$ si $x\in \mathbb Z,$ se llama la identificación de $\mathbb Z$ hasta cierto punto.

La topología del subespacio en $S_1= Y$ \ $\{p\} =\mathbb R$ \ $\mathbb Z$ es sólo la topología habitual en $\mathbb R$ \ $\mathbb Z,$ que es $2$ nd-contable. Y el subespacio $S_2=\{p\}$ es (trivialmente) $2$ nd-contable .

Para demostrar que el carácter de $p$ en $Y$ es incontable, dejemos que $\{U_m:m\in \mathbb Z\}$ sea una familia de nbhds de $p.$ Para cada $ m$ tomar $f_m:\mathbb Z\to (0,1/2]$ tal que $$U_m\supset \{p\}\cup \{(-f_m(n)+n,f_m(n)+n)\;):n\in \mathbb Z\} \;\backslash \;\mathbb Z.$$ Dejemos que $g(n)= f_n(n)/3$ para cada $n\in \mathbb Z.$ Entonces $$V=\{p\}\cup \{(-g(n)+n,g(n)+n)\;):n\in \mathbb Z\}\; \backslash \; \mathbb Z$$ es un nbhd de $p.$ Y $U_m\not \subset V$ para cualquier $m\in \mathbb Z$ porque $m+ 2f_m(m)/3 \in U_m$ \ $V$ .